Триъгълник

[Гост]

Дадено: ABC - триъгълник;
AB=14; и разликата на другите две страни е 2 см. Центъра на окръжността с радиус 6 см. лежи на дадената страна AB и окръжността се допира до другите две страни на триъгълника. Да се намерят страните BC и AC.

[Гост]

Нека използваме стандартните означения за страните на триъг.АВС АВ=с=14,ВС = а,АС = b.Нека a=b+2.По условие окръжност к( О,r=6) се допира до АС и ВС и т.О лежи на АВ.Тогава СО е ъглополовяща в триъгълника.[tex]\Rightarrow[/tex]AO:BO=b:a От където АО=bx ,BO = ax, c= 14 = 2x(b+1).
Получаваме 7 = x(b+1). 2S на триъг ОAС изразяваме по два начина 6.b = AO.CH ( 6= r и СН е перпендикулярна на АВ). Така получаваме CH = [tex]\frac{6}{x}[/tex]
По Хероновата формула S [tex]\Delta_{ABC }[/tex]= [tex]\sqrt{(b+8).6.8.(b-6)}[/tex]=[tex]\frac{14.6}{2x}[/tex] (1) x=[tex]\frac{7}{b+1}[/tex].(2)
След повдигане на квадрат на двете страни на равенство (1) и от равенство (2) се получава ,че [tex]b^{2}[/tex]+2b-195 = 0 (3).
Решение на задачата е положителният корен на уравнението (3) , а именно b=15,тогава a = 17 са търсените страни на триъгълника.