Катетите на правоъгълен триъгълник са 15 и 20

[Гост]

Катетите на правоъгълен триъгълник са 15 и 20. Да се намери разстоянието от центъра вписаната окръжност до височината към хипотенузата.
Помощ ..

[Knowledge Greedy]

Нека по-късият катет е [tex]AC=15[/tex].
Хипотенузата е ясно колко е. Полупериметърът [tex]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex] също можем бързо да намерим.
Да означим с [tex]T[/tex] допирната точка на вписаната окръжност с хипотенузата. И нека височината е [tex]CD[/tex].
Това, което се търси очевидно е равно на [tex]DT[/tex].
Има едно такова свойство [tex]AT=p-a[/tex], за разстоянието от връх [tex]A[/tex] на триъгълника до допирната точка на вписаната окръжност с прилежаща страна [tex]AB[/tex]. Значи намерихме и [tex]AT[/tex].
Остава да открием проекцията на катета [tex]AD[/tex] върху хипотенузата. Явно от правоъгълния триъгълник [tex]\Delta ACD[/tex].
Изглежда не е трудна, а
- само да извадим [tex]AT[/tex] от [tex]AD[/tex]

[Гост]

Нека по-късият катет е [tex]AC=15[/tex].
Хипотенузата е ясно колко е. Полупериметърът [tex]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex] също можем бързо да намерим.
Да означим с [tex]T[/tex] допирната точка на вписаната окръжност с хипотенузата. И нека височината е [tex]CD[/tex].
Това, което се търси очевидно е равно на [tex]DT[/tex].
Има едно такова свойство [tex]AT=p-a[/tex], за разстоянието от връх [tex]A[/tex] на триъгълника до допирната точка на вписаната окръжност с прилежаща страна [tex]AB[/tex]. Значи намерихме и [tex]AT[/tex].
Остава да открием проекцията на катета [tex]AD[/tex] върху хипотенузата. Явно от правоъгълния триъгълник [tex]\Delta ACD[/tex].
Изглежда не е трудна, а :?:
- само да извадим [tex]AT[/tex] от [tex]AD[/tex] :!:

Получих -3 :D може би съм объркала нещо ... още малко помощ ?

[Knowledge Greedy]

Извади [tex]АD[/tex] от [tex]AT[/tex]

[tex]AB=25[/tex]

[tex]p=\frac{15+20+25}{2}=30[/tex]

[tex]S_{\Delta ABC}=\frac{15.20}{2}=150[/tex]

Но [tex]S_{\Delta ABC}=\frac{AB.CD}{2}=\frac{25.CD}{2}[/tex], следователно [tex]\frac{25.CD}{2}=150 \,\ \Rightarrow \,\ CD=12[/tex]

Прилагаме теоремата на Питагор за[tex]\Delta ADC[/tex]
[tex]AD^2=AC^2-DC^2 \,\ \Rightarrow \,\ AD=\sqrt{15^2-12^2}=9[/tex]

[tex]AT=p-a=30-20=10[/tex]

Окончателно [tex]DT=|AT-AD|=10-9=1[/tex].