Задачи с трапец и триъгълник

[Гост]

1 В равнобедрен трапец с основи 2 и 8 е вписана окръжност. Намерете отсечката,която съединява допирните точки на вписаната окръжност до бедрата на трапеца.
2 Върху хипотенузата на правоъгълния триъгълник ABC са взети M и N , които я делят на три равни части. Намерете а и b ако СМ=2[tex]\sqrt{10}[/tex] и CN=5

[KOPMOPAH]

1. Да отбележим точките, в които окръжността се допира до бедрата с [tex]M \in BC и N \in AD[/tex]. Продължаваме бедрата до пресичането им в т.[tex]E[/tex]. От свойствата на допирателните [tex]CM = DN = 1[/tex], [tex]BM = AN = 4[/tex]. Разглеждаме подобните триъгълници 1) [tex]\Delta ABE[/tex] и [tex]\Delta DCE[/tex] и 2) [tex]\Delta NME[/tex] и [tex]\Delta ABE[/tex].
От първото подобие имаме:
[tex]\frac{EC}{DC} = \frac{EB}{AB}[/tex], [tex]\frac{EC}{2} = \frac{EC+5}{8}[/tex], откъдето получаваме [tex]EC=\frac{5}{3}[/tex].
От второто подобие имаме:
[tex]\frac{EM}{MN} = \frac{EB}{AB}[/tex], [tex]\frac{EC+CM}{MN} = \frac{EB}{AB}[/tex], [tex]\frac{\frac{5}{3}+1}{MN} = \frac{\frac{5}{3}+5}{8}[/tex] откъдето се получава [tex]MN=\frac{16}{5}[/tex]

[KOPMOPAH]

Задачата с триъгълника бих я решил, като разгледам [tex]\Delta ANC[/tex], за който [tex]CM[/tex] се явява медиана и, съответно, [tex]\Delta MBC[/tex], за който [tex]CN[/tex] се явява медиана, като се приложи формулата за медианата:
[tex]m_{c }=\frac{\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c{2}}}{2}[/tex]

[inveidar]

1. Да отбележим точките, в които окръжността се допира до бедрата с [tex]M \in BC и N \in AD[/tex]. Продължаваме бедрата до пресичането им в т.[tex]E[/tex]. От свойствата на допирателните [tex]CM = DN = 1[/tex], [tex]BM = AN = 4[/tex]. Разглеждаме подобните триъгълници 1) [tex]\Delta ABE[/tex] и [tex]\Delta DCE[/tex] и 2) [tex]\Delta NME[/tex] и [tex]\Delta ABE[/tex].
От първото подобие имаме:
[tex]\frac{EC}{DC} = \frac{EB}{AB}[/tex], [tex]\frac{EC}{2} = \frac{EC+5}{8}[/tex], откъдето получаваме [tex]EC=\frac{5}{3}[/tex].
От второто подобие имаме:
[tex]\frac{EM}{MN} = \frac{EB}{AB}[/tex], [tex]\frac{EC+CM}{MN} = \frac{EB}{AB}[/tex], [tex]\frac{\frac{5}{3}+1}{MN} = \frac{\frac{5}{3}+5}{8}[/tex] откъдето се получава [tex]MN=\frac{16}{5}[/tex]

Би трябвало да докажеш успоредността на МN и АВ.

[Евва]

2 зад. (2 начин)
Построих [tex]\triangle[/tex]АВС ,като [tex]\angle[/tex]ВСА=90[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex]ВАС<[tex]\angle[/tex]АВС и AM=MN=NВ
Да построим правоъгълника А[tex]С_{1 }[/tex]ВС .Нека правата CN пресича В[tex]С_{1 }[/tex] в т.Р ,а правата СМ пресича А[tex]С_{1 }[/tex] в т.Т .
[tex]\triangle[/tex]АТМ[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]МВС (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{АТ}{ВС}[/tex]=[tex]\frac{ТМ}{СМ}[/tex]=[tex]\frac{АМ}{ВМ}[/tex] т.е. [tex]\frac{АТ}{а}[/tex]=[tex]\frac{ТМ}{2\sqrt{10}}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] АТ=[tex]\frac{a}{2}[/tex] и ТМ=[tex]\sqrt{10}[/tex]

[tex]\triangle[/tex]PBN[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]NCA (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{PB}{AC}[/tex]=[tex]\frac{PN}{CN}[/tex]=[tex]\frac{BN}{AN}[/tex] т.е. [tex]\frac{PB}{b}[/tex]=[tex]\frac{PN}{5}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] PB=[tex]\frac{b}{2}[/tex] и PN=[tex]\frac{5}{2}[/tex]

[tex]\triangle[/tex]ATC и [tex]\triangle[/tex]PBC са правоъгълни

[tex]\begin{array}{|l} (\frac{a}{2})^{2}+b^{2} = (3\sqrt{10})^{2} \\ (\frac{b}{2})^{2}+a^{2} = (\frac{15}{2})^{2} \end{array}[/tex] ...

a=6 , b=9