Метод на интервалите

[Гост]

[tex]\frac{(х-1)^{2}}{х(х+1}[/tex]
Моля някой да ми обясни решението на задачата. Аз я решавам по метода на интервалите и получавам (-[tex]\infty[/tex];-1) [tex]\cup[/tex] (1;+[tex]\infty[/tex])
Но отговора е (-[tex]\infty[/tex];1) [tex]\cup[/tex] (0;1) [tex]\cup[/tex] (1; +[tex]\infty[/tex])
Ако някой ми помогне с тези "подводни камъни" ще съм много благодарна

[Добромир Глухаров]

[tex]\frac{(x-1)^2}{x(x+1)}>0[/tex] Д.С.:[tex]x(x+1)\ne 0\Leftrightarrow x\ne -1;x\ne 0[/tex] - умножаваме числителя и знаменателя по [tex]x(x+1)[/tex] - знакът не се променя - [tex]\frac{(x-1)^2x(x+1)}{x^2(x+1)^2}>0[/tex] - знаменателят е положителен за [tex]x\ne-1;x\ne 0[/tex] - умножаваме по [tex]x^2(x+1)^2>0\Rightarrow (x-1)^2x(x+1)>0[/tex].

[tex](x-1)^2>0[/tex] за [tex]x\ne 1\Rightarrow[/tex] разделяме на [tex](x-1)^2[/tex] - знакът не се променя [tex]\Rightarrow x(x+1)>0;x\ne -1;x\ne 0;x\ne 1[/tex]

[tex]x(x+1)=0[/tex] за [tex]x=-1[/tex] и [tex]x=0[/tex] - разделяме числовата ос на интервалите [tex](-\infty;-1),(-1;0),(0;+\infty)[/tex] - за [tex]x\in(-\infty;-1)\to x(x+1)>0[/tex], за [tex]x\in(-1;0)\to x(x+1)<0[/tex], за [tex]x\in(0;+\infty)\to x(x+1)>0\Rightarrow x\in(-\infty;-1)\cup(0;+\infty)[/tex] и не бива да забравяме, че [tex]x\ne 1\Rightarrow x\in(-\infty;-1)\cup(0;1)\cup(1;+\infty)[/tex]

Ако неравенството беше [tex]\frac{(x-1)^2}{x(x+1)}\ge 0[/tex] - т.е. нестрого, нямаше да изключим [tex]x=1[/tex] - за него лявата страна става [tex]0[/tex] - и отговорът щеше да бъде [tex]x\in(-\infty;-1)\cup(0;+\infty)[/tex]

[Добромир Глухаров]

А как се разбира, че например за [tex]x\in(-\infty;-1)\Rightarrow x(x+1)>0[/tex]? Ами просто заместваме в [tex]x(x+1)\ x[/tex] с някоя стойност от интервала - в случая например с [tex]-2[/tex] и получаваме [tex](-2)(-2+1)=-2.(-1)=2>0[/tex].