Опростете израза

[Гост]

[tex]\frac{(х-а)(х-с}{(b-a)(b-c)}[/tex] + [tex]\frac{(x-c)(x-b)}{(a-c)(a-b)}[/tex] + [tex]\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}[/tex]
Отговора е 1. Разкрих скобите, но после?

[Knowledge Greedy]

В кой клас си?

[Knowledge Greedy]

Попитах за класа, защото ако си дванадесетокласник, ще означим този израз с [tex]f(x)[/tex] и при [tex]a, \,\ b, \,\ c[/tex] неравни помежду си константи излиза, че [tex]f(x)[/tex] е квадратна функция.
Да, ама не! Защото като намерим производната ѝ, ще получим [tex]f'(x)=0[/tex]. Това означава (съгласно основна теорема в ИС), че [tex]f(x)=const[/tex].
За да намерим тази константа, заместваме с произволна стойност на [tex]x[/tex], например с [tex]x=a[/tex]. И получаваме [tex]f(a)=1[/tex]. Следователно [tex]\forall x \,\ f(x)=1[/tex]
___________
Ако беше от 9-ти, от 10-ти или от 11-ти клас, щях да ти препоръчам да заместиш [tex]x[/tex] последователно с [tex]a, \,\ b[/tex] и [tex]c[/tex]. Всеки път ще получаваш [tex]1[/tex]. Но и тук трябва да осъзнаваш, че даденият израз е квадратна функция! А една квадратна функция не може да потретва никоя своя стойност! Тя може да повтаря някои свои стойности (почти всички ), но да потретва - НЕ. Извод - това не е квадратна функция. Все пак е полиномна функция. Значи е линейна [tex]y=Ax+B[/tex]. И отново същият проблем. Тя дори не би могла да си повтори една своя стойност, ако не е ... константа. И за да намерим тази константа, заместваме с произволно [tex]x[/tex] - нека да е [tex]x=a[/tex]. Получаваме 1 и това е отговорът.
___________
А сега ми кажи, че си от VII или VIII клас, за да ти напиша решението.

[Гост]

Попитах за класа, защото ако си дванадесетокласник, ще означим този израз с [tex]f(x)[/tex] и при [tex]a, \,\ b, \,\ c[/tex] неравни помежду си константи излиза, че [tex]f(x)[/tex] е квадратна функция.
Да, ама не! Защото като намерим производната ѝ, ще получим [tex]f'(x)=0[/tex]. Това означава (съгласно основна теорема в ИС), че [tex]f(x)=const[/tex].
За да намерим тази константа, заместваме с произволна стойност на [tex]x[/tex], например с [tex]x=a[/tex]. И получаваме [tex]f(a)=1[/tex]. Следователно [tex]\forall x \,\ f(x)=1[/tex]
___________
Ако беше от 9-ти, от 10-ти или от 11-ти клас, щях да ти препоръчам да заместиш [tex]x[/tex] последователно с [tex]a, \,\ b[/tex] и [tex]c[/tex]. Всеки път ще получаваш [tex]1[/tex]. Но и тук трябва да осъзнаваш, че даденият израз е квадратна функция! А една квадратна функция не може да потретва никоя своя стойност! Тя може да повтаря някои свои стойности (почти всички ), но да потретва - НЕ. Извод - това не е квадратна функция. Все пак е полиномна функция. Значи е линейна [tex]y=Ax+B[/tex]. И отново същият проблем. Тя дори не би могла да си повтори една своя стойност, ако не е ... константа. И за да намерим тази константа, заместваме с произволно [tex]x[/tex] - нека да е [tex]x=a[/tex]. Получаваме 1 и това е отговорът.
___________
А сега ми кажи, че си от VII или VIII клас, за да ти напиша решението.

В 12 клас съм и това е от кандидатстудентски конкурси. Не успях да схвана и затова поисках помощ.

[Гост]

Но и тук трябва да осъзнаваш, че даденият израз е квадратна функция! А една квадратна функция не може да потретва никоя своя стойност! Тя може да повтаря някои свои стойности (почти всички ), но да потретва - НЕ. Извод - това не е квадратна функция. Все пак е полиномна функция. Значи е линейна [tex]y=Ax+B[/tex]. И отново същият проблем. Тя дори не би могла да си повтори една своя стойност, ако не е ... константа. И за да намерим тази константа, заместваме с произволно [tex]x[/tex] - нека да е [tex]x=a[/tex]. Получаваме 1 и това е отговорът.
___________
А сега ми кажи, че си от VII или VIII клас, за да ти напиша решението.

А защо квадратната функция не може да потретва една своя стойност? А линейната да повтаря, ако не е константа? Би ли обеснил?

[Гост]

Но и тук трябва да осъзнаваш, че даденият израз е квадратна функция! А една квадратна функция не може да потретва никоя своя стойност! Тя може да повтаря някои свои стойности (почти всички ), но да потретва - НЕ. Извод - това не е квадратна функция. Все пак е полиномна функция. Значи е линейна [tex]y=Ax+B[/tex]. И отново същият проблем. Тя дори не би могла да си повтори една своя стойност, ако не е ... константа. И за да намерим тази константа, заместваме с произволно [tex]x[/tex] - нека да е [tex]x=a[/tex]. Получаваме 1 и това е отговорът.
___________
А сега ми кажи, че си от VII или VIII клас, за да ти напиша решението.

А защо квадратната функция не може да потретва една своя стойност? А линейната да повтаря, ако не е константа? Би ли обеснил?

Ако ми обясниш, че бъда най-благодарния човек на света

[Knowledge Greedy]

Eто едно доказателство.
Нека квадратната функция е [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex], където [tex]a\ne 0[/tex].
Да допуснем, че [tex]y, \,\ z[/tex] и [tex]t[/tex] са три различни стойности на аргумента [tex]x[/tex], за които функцията [tex]f(x)[/tex] приема една и съща стойност [tex]m[/tex].
Значи за [tex]y\ne z \ne t \ne y \,\ \Rightarrow \,\ \begin{array}{|l} f(y) = m \\ f(z)= m \\ f(t)= m \end{array}[/tex]
Подробно.
[tex]\begin{array}{|l} ay^2+by+c = m \\ az^2+bz+c= m \\ at^2+bt+c= m \end{array}[/tex]

Изваждаме от първото уравнение останалите две
[tex]\begin{array}{|l} ay^2+by-az^2-bz = 0 \\ ay^2+by- at^2-bt = 0 \end{array}[/tex]

Разлагаме на множители
[tex]\begin{array}{|l} a(y^2-z^2)+b(y-z) = 0 \\ a(y^2- t^2)+b(y-t) = 0 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} [a(y+z)+b](y-z) = 0 \\ [a(y+ t)+b](y-t) = 0 \end{array}[/tex]

Можем да съкратим на [tex](y-z) \ne 0[/tex] и на [tex](y-t) \ne 0[/tex].

[tex]\begin{array}{|l} a(y+z)+b = 0 \\ a(y+ t)+b = 0 \end{array}[/tex]

Оставащите две уравнения изваждаме почленно.
[tex]a(y+z)- a(y+ t) = 0[/tex]

Получава се [tex]a( z- t) = 0[/tex].
Но това равенство е невъзможно, тъй като [tex]a\ne 0[/tex] и [tex]z \ne t[/tex].
Следователно не съществуват три различни стойности на аргумента [tex]x[/tex] , за които квадратната функция да приема едно и също значение.
__________
Друго доказателство - по-аналитично, може да построим като използваме свойството монотонност на квадратната функция - различно в интервалите вляво и вдясно от върха ѝ.

[Гост]

Много благодаря

[inveidar]

[tex]\frac{(х-а)(х-с}{(b-a)(b-c)}[/tex] + [tex]\frac{(x-c)(x-b)}{(a-c)(a-b)}[/tex] + [tex]\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}[/tex]
Отговора е 1. Разкрих скобите, но после?

След обяснението на Ноулидж все повече се убеждавам, че в математиката са необходими много по-приятни и прости решения. Бог с теб, Максо!
След като сме се убедили, че за а, в и с изразът приема стойност 1, да разгледаме уравнението
[tex]\frac{(х-а)(х-с)}{(b-a)(b-c)}[/tex] + [tex]\frac{(x-c)(x-b)}{(a-c)(a-b)}[/tex] + [tex]\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=1[/tex] .
Ясно е, че като се освободим от знаменател, разкрием скобите и прехвърлим единицата вляво, ще се получи уравнение от вида
[tex]Ax^2+Bx+C-1=0[/tex], където [tex]Ax^2+Bx+C[/tex] е нашия израз. Така полученото уравнение има поне три решения - а, в и с.То е квадратно или от по-ниска степен. Ако е квадратно, то няма как да има повече от две решения, нали? Ако е от първа степен и коефициентите пред неизвестните не са едновременно нули, то също или няма решение, или има едно решение. Остава всички коефициенти А, В и С-1 да са нули. Но тогава [tex]Ax^2+Bx+C-1=0[/tex] е тъждество, т.е [tex]Ax^2+Bx+C=1[/tex] за всяко х.

[inveidar]

Ако е от първа степен и коефициентите пред неизвестните не са едновременно нули, то също или няма решение, или има едно решение.

За по-ясно. Имам предвид коефициентите пред неизвестното и свободния член.

[Knowledge Greedy]

След обяснението на Ноулидж все повече се убеждавам, че в математиката са необходими много по-приятни и прости решения. ...

Винаги е било така .
А аз се убеждавам, че дори да дам не едно, не три, а пет решения - винаги ще се намери човек, който да не хареса някое от тях и нещо повече - да не ги хареса всичките (пък макар и защото не ги е прочел).
Знам и друго, винаги ще се намери някой, който да предложи и нещо по-добро, дори много, много по-добро
За това животът е интересен!

[Евва]

- [tex]\frac{(x-a)(x-c)}{(a-b)(b-c)}[/tex]- [tex]\frac{(x-c)(x-b)}{(c-a)(a-b)}[/tex] - [tex]\frac{(x-a)(x-b)}{(b-c)(c-a)}[/tex]=

=[tex]\frac{(a-x)(x-c)(c-a) +(c-x)(x-b)(b-c) +(a-x)(x-b)(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)}[/tex] = ...

... =[tex]\frac{-a^{2}b-ac^{2}+a^{2}c-b^{2}c+ab^{2}+bc^{2}}{(a-b)(b-c)(c-a)}[/tex]=

Скрит текст: покажи

Ще представя числителя във вид на множители .

= [ abc-[tex]a^{2}[/tex]b-a[tex]c^{2}[/tex]+[tex]a^{2}[/tex]c ]+[ -[tex]b^{2}[/tex]c+a[tex]b^{2}[/tex]+b[tex]c^{2}[/tex] -abc ]=

=a(bc-ab-[tex]c^{2}[/tex]+ac) -b(bc-ab-[tex]c^{2}[/tex]+ac) =

=(bc-ab-[tex]c^{2}[/tex]+ac)(a-b) =[ c(b-c)-a(b-c) ](a-b)=

=(a-b)(b-c)(c-a)

Получихме [tex]\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}[/tex] =

=1