квадратни уравнения

[Гост]

Дадени са квадратните уравнения: [tex]x^{2}[/tex] - 2kx+4=0 и [tex]x^{2}[/tex] - 2(k-1)x+4=0
Ако x1 и x2 са корени на първото. а y1 и у2 са корени на второто уравнение, да се намерят стойностите на к, за които е изпълнено х1<y1<y2<x2.

Как се решават този тип задачи?

[mail_dinko]

Потърси "разпределение на корените на квадратното уравнение върху числовата ос", напр. в сайта на учебен център Солема има един pdf файл. Ако можех да я реша, бих ти я написал, но не мога

[Nathi123]

Нека за [tex]x^{2}-2kx+4=0[/tex] [tex]D_{1 }=k^{2}-4 ;f(x) =x^{2}-2kx+4[/tex]. За [tex]x^{2}-2(k-1)x+4=0[/tex] [tex]D_{2} =(k-1)^{2}-4 , g(x) = x^{2}-2(k-1)x+4[/tex] .От условието на задачата следва ,че корените на тези 2 кв. уравнения трябва да са реални и различни т.е. [tex]\begin{array}{|l} D_{1 }>0 \\ D_{2 } >0\end{array}\Leftrightarrow k\in (-\infty,-2)\cup (3,\infty) .[/tex] Тъй като [tex]y_{1 };y_{2 }\in (x_{1 },x_{2 })\Rightarrow
\begin{array}{|l} k\in(-\infty,-2)\cup (3,\infty)\\g(x_{1 } )>0\\g(x_{2 } )>0\\ x_{1 }<k-1<x_{2 }\end{array}[/tex] Последното неравенство е изпълнено ,ако
[tex]f(k-1) <0 \Leftrightarrow (k-1)^{2}-2k(k-1)+4<0 \Leftrightarrow 5-k^{2}<0\Leftrightarrow k\in(-\infty,-\sqrt{5})\cup(\sqrt{5},\infty)\Rightarrow[/tex] първото и последното неравенство от системата са изпълнени едновременно за [tex]k\in(-\infty,-\sqrt{5})\cup(3,\infty).[/tex] За да бъдат [tex]\begin{array}{|l} g(x_{1 })>0 \\ g(x_{2 })>0 \end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l} g(x_{1 }). g(x_{2 })>0\\g(x_{1 })+g(x_{2 })>0 \end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l} ( x_{1 }+x_{2 } )^{2}-2x_{1 }x_{2 }-2(k-1)(x_{1 }+x_{2 })+8>0\\ g(x_{1 }). g(x_{2 })>0\end{array}\Leftrightarrow k>2\Rightarrow k\in (3,\infty)[/tex] ( От Т на Виет следва,че [tex]x_{1 }+x_{2 } = 2k , x_{1 }x_{2 }=4)[/tex] . По същия начин се преобразува [tex]g(x_{1 }). g(x_{2 })[/tex] и се показва,че е положително за всяко реално k.

[Гост]

Нека за [tex]x^{2}-2kx+4=0[/tex] [tex]D_{1 }=k^{2}-4 ;f(x) =x^{2}-2kx+4[/tex]. За [tex]x^{2}-2(k-1)x+4=0[/tex] [tex]D_{2} =(k-1)^{2}-4 , g(x) = x^{2}-2(k-1)x+4[/tex] .От условието на задачата следва ,че корените на тези 2 кв. уравнения трябва да са реални и различни т.е. [tex]\begin{array}{|l} D_{1 }>0 \\ D_{2 } >0\end{array}\Leftrightarrow k\in (-\infty,-2)\cup (3,\infty) .[/tex] Тъй като [tex]y_{1 };y_{2 }\in (x_{1 },x_{2 })\Rightarrow
\begin{array}{|l} k\in(-\infty,-2)\cup (3,\infty)\\g(x_{1 } )>0\\g(x_{2 } )>0\\ x_{1 }<k-1<x_{2 }\end{array}[/tex] Последното неравенство е изпълнено ,ако
[tex]f(k-1) <0 \Leftrightarrow (k-1)^{2}-2k(k-1)+4<0 \Leftrightarrow 5-k^{2}<0\Leftrightarrow k\in(-\infty,-\sqrt{5})\cup(\sqrt{5},\infty)\Rightarrow[/tex] първото и последното неравенство от системата са изпълнени едновременно за [tex]k\in(-\infty,-\sqrt{5})\cup(3,\infty).[/tex] За да бъдат [tex]\begin{array}{|l} g(x_{1 })>0 \\ g(x_{2 })>0 \end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l} g(x_{1 }). g(x_{2 })>0\\g(x_{1 })+g(x_{2 })>0 \end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l} ( x_{1 }+x_{2 } )^{2}-2x_{1 }x_{2 }-2(k-1)(x_{1 }+x_{2 })+8>0\\ g(x_{1 }). g(x_{2 })>0\end{array}\Leftrightarrow k>2\Rightarrow k\in (3,\infty)[/tex] ( От Т на Виет следва,че [tex]x_{1 }+x_{2 } = 2k , x_{1 }x_{2 }=4)[/tex] . По същия начин се преобразува [tex]g(x_{1 }). g(x_{2 })[/tex] и се показва,че е положително за всяко реално k.

А там където си писал/а к>2 не се ли получава к>0

[pal702004]

Имаме уравнения $x^2-2kx+4=0,\; y^2-2(k-1)y+4=0$ Иска се да има реални корени и $x_1<y_1<y_2<x_2$

Тък като $x_1x_2=y_1y_2\;(=4)$, то е достатъчно (и необходимо) $x_2>y_2$ (другото ще се получи автоматично) Или

$k+\sqrt{k^2-4}>k-1+\sqrt{(k-1)^2-4}$

$1+\sqrt{k^2-4}>\sqrt{(k-1)^2-4}$

ДМ: $k\in(-\infty;-2]\cup [3;+\infty)$

Неравенството е справедливо при $k\in [3;+\infty)$

[pal702004]

Забравих да уточня, че случая, когато едните корени са положителни, а другите -отрицателни не влиза в ДМ.

[Nathi123]

Гост

А там където си писал/а к>2 не се ли получава к>0

Да k>0 .

[TheCharmedOne]

Благодаря! От полза ми беше.