уравнение с полагане

[Гост]

[tex]\frac{x}{(1+x)^{2}}[/tex] + [tex]\frac{2a\sqrt{x}}{1+x}[tex] +1 =0
Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за който уравнението има реален корен?

Полагаме, но после?

[Гост]

[tex]\frac{x}{(1+x)^{2}}[/tex] + [tex]\frac{2a[tex]\sqrt{x}[tex]}{1+x}[tex] +1 =0
Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за който уравнението има реален корен?

Полагаме, но после?

[Гост]

[tex]\frac{x}{(1+x)^{2}}[/tex] + [tex]\frac{2a\sqrt{x}}{1+x}[/tex] +1 =0
Да се намерят стойностите на реалния параметър а, за който уравнението има реален корен?

Полагаме, но после?

[Knowledge Greedy]

[tex]u=\frac{\sqrt{x}}{1+x}\in \left [0; \frac{1}{2} \right ][/tex]

[tex]f(u)=u^2+2au+1=0[/tex] да има поне един реален корен в интервала [tex]\left [0; \frac{1}{2} \right ][/tex]:
1.) Точно един корен в интервала.
[tex]f(0).f\left ( \frac{1}{2} \right )<0[/tex]
2.) Два реални корена в интервала
[tex]\begin{array}{|l} D=a^2-1>0 \\ f(0)>0 \\ f\left ( \frac{1}{2} \right ) \\ 0<-a< \frac{1}{2} \end{array}[/tex]
3.) Един двоен р.к. в интервала.
[tex]D=0 \Rightarrow a=\mp 1\Rightarrow u=\pm 1\notin \left [0; \frac{1}{2} \right ][/tex]

[Гост]

[tex]u=\frac{\sqrt{x}}{1+x}\in \left [0; \frac{1}{2} \right ][/tex]

[tex]f(u)=u^2+2au+1=0[/tex] да има поне един реален корен в интервала [tex]\left [0; \frac{1}{2} \right ][/tex]:
1.) Точно един корен в интервала.
[tex]f(0).f\left ( \frac{1}{2} \right )<0[/tex]
2.) Два реални корена в интервала
[tex]\begin{array}{|l} D=a^2-1>0 \\ f(0)>0 \\ f\left ( \frac{1}{2} \right ) \\ 0<-a< \frac{1}{2} \end{array}[/tex]
3.) Един двоен р.к. в интервала.
[tex]D=0 \Rightarrow a=\mp 1\Rightarrow u=\pm 1\notin \left [0; \frac{1}{2} \right ][/tex]

Защо ДС са [o;[tex]\frac{1}{2}[/tex]]

[Knowledge Greedy]

Защото неравенството между средно аритметично и средно геометрично дава [tex]\frac{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}}{2}\ge \sqrt{\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}}=1 \,\ \Leftrightarrow \,\ \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge 2[/tex]
Последното е равносилно на [tex]\frac{x+1}{\sqrt{x}}\ge 2 \,\ \Leftrightarrow \,\ \frac {\sqrt{x}}{x+1}\le \frac{1}{2}[/tex]
Равенство се достига точно тогава, когато [tex]\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x} \,\ \Leftrightarrow \,\ x=1[/tex]
За левия край на интервала мисля, че е ясно. Подкоренната величина е неотрицателна.