Синусова и косинусова теорема

[Гост]

Даден е триъгълник ABC. Точките M и N лежат съответно на страните AC и BC, като е известно, че CN:NB=2:1, AN=[tex]\frac{10\sqrt{3}}{3}[/tex] и BM=7. Ако AB=5 и [tex]\angle[/tex]BAC=60[tex]^\circ[/tex], да се намерят останалите ъгли и страни на триъгълник ABC.

[ptj]

Не виждам каква роля играе AM.
Иначе като видиш 2:1 е логично да се сетиш за свойство на медицентъра. Т. е. [tex]\Delta ACD[/tex], в който:
B е среда на AD,
N e медицентър.
Ще получиш 2 уравнения за страните- първото от формула за медианата, второто от косинусова теорема.
...

[Anubis]

Нека [tex]CN=2x, \, NB=x, \, CM=z[/tex] и [tex]MA=y[/tex]. Означаваме [tex]\angle AMB=\varphi, \, \angle ANC=\delta[/tex].

[tex]\fbox{1.} \, \triangle ABM: \, BM^2 = AB^2 + AM^2 - 2 \cdot AB \cdot AM \cos 60^\circ \Rightarrow y^2-5y-24=0 \Rightarrow y = 8[/tex]

Следователно [tex]\fbox{AM=8}[/tex].

[tex]\fbox{2.} \, \triangle ABM: \, AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2 \cdot AM \cdot BM \cdot \cos \varphi \Rightarrow 25^2 = 64 + 49 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cos \varphi \Rightarrow \fbox{\cos \varphi = \frac{11}{14}}[/tex]

[tex]\fbox{3.} \, \triangle BMC: \, BC^2 = BM^2 + MC^2 - 2 \cdot BM \cdot MC \cdot \cos (180^\circ-\varphi) \Rightarrow \fbox{9x^2 = 49 + z^2 + 11z} \, (*)[/tex]

[tex]\fbox{4.} \, \triangle ANC: \, AC^2 = AN^2 + CN^2 - 2 \cdot AN \cdot CN \cdot \cos \delta \Rightarrow (z+8)^2 = \left ( \frac{10\sqrt{3}}{3} \right )^2 + (2x)^2 - 2 \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} \cdot 2x \cdot \cos \delta \Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow \fbox{\cos \delta = \frac{100 + 12x^2 - 3(z+8)^2}{40\sqrt{3}x}}[/tex]

[tex]\fbox{5.} \, \begin{cases} AC^2 = AN^2 + CN^2 - 2 \cdot AN \cdot CN \cdot \cos \delta \\ AB^2 = AN^2 + BN^2 + 2 \cdot AN \cdot BN \cdot \cos \delta \end{cases}[/tex]

След изваждане на двете уравнения получаваме [tex](z+8)^2 - 5^2 = 3x^2 - 6x \cos \delta AN[/tex]. Заместваме стойността на [tex]\cos \delta[/tex] и достигаме

до уравнението [tex]\fbox{(z+8)^2 = 6x^2 + 50} \, (**)[/tex]. Решаваме съвместно [tex](*)[/tex] и [tex](**)[/tex].

[tex]\fbox{6.} \, \begin{cases} z^2+11z+49=9x^2 \\ z^2+16z+64=6x^2+50 \end{cases} \Rightarrow \fbox{z=\frac{35-3x^2}{5}}>0 \Rightarrow x^2<\frac{35}{3}[/tex]

Заместваме [tex]z[/tex] в първото уравнение: [tex]\left ( \frac{35-3x^2}{5} \right )^2 + 11 \cdot \frac{35-3x^2}{5} + 49 = 9x^2[/tex]. След като решим биквадратното уравнение,

получаваме [tex]\fbox{x=\frac{5}{\sqrt{3}}}[/tex] (другият корен не удовлетворява неравенството), откъдето [tex]\fbox{z=2}[/tex].

[tex]\fbox{7.} \, \frac{5}{\sin \gamma} = \frac{BC}{\sin 60^\circ} \Rightarrow \sin \gamma = \frac{5 \sin 60^\circ}{BC} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{15} = \frac{1}{2} \Rightarrow \fbox{\gamma = 30^\circ} \Rightarrow \fbox{\beta=90^\circ}[/tex]