2 задачки... спешно ;/

[noobnoob234]

От вътрешна точка М на равностранен триъгълник ABC са спуснати перпендикулярите MA1 = 14, MB1 = 5, MC1 = 16 Съответно към страните BC, AC, AB
Намерете височината и страната на ABC и страните на триъгълник A1B1C1.

намирам h = 14+5+16 = 35 см.
ии оттамМ??

2 зад. Докажете, че сборът от растоянията от произволна точка, лежаща на основата на равнобедрен триъгълник до бедрата му е равен на височината на триъгълника към бедрото.

[Spider Iovkov]

Мисля, че е редно да докажем нещо, като го използваме, . В случая ще докажем, че сборът от разстоянията от произволна точка във вътрешността на равностранен триъгълник е равен на височината му.

Означенията са на третата картинка, като [tex]OK \bot AB, \, OH \bot BC, \, OT \bot AC[/tex]. Имаме

[tex]S_{\triangle ABC} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle AOC} \Leftrightarrow S_{\triangle ABC} = \frac{AB.OK}{2} + \frac{BC.OH}{2} + \frac{AC.OT}{2};[/tex]

[tex]AB = BC = AC = a \Rightarrow S_{\triangle ABC} = \frac{OK.a}{2} + \frac{OH.a}{2} + \frac{OT.a}{2} \Leftrightarrow S_{\triangle ABC} = \frac{a}{2} \left ( OK + OH + OT \right ) \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{a}{2}. h = \frac{a}{2} \left ( OK + OH + OT \right )[/tex], т. е. [tex]h = OK + OH + OT[/tex] (задача втора се решава по същия начин).

Сега вече можем да го използваме наготово в задачата. Пресмятаме [tex]h=35[/tex]. От първата картинка се вижда, че

[tex]\tan \angle CAH = \frac{CH}{AH} \Leftrightarrow \frac{a}{2} \tan 60^\circ = 35 \Leftrightarrow a = 2 . 35 . \cot 60^\circ \Leftrightarrow a = \frac{70}{\sqrt{3}}[/tex].

Понеже

[tex]\angle BC_{1}M + \angle BA_{1}M = \angle CA_{1}M + \angle CB_{1}M = \angle AB_{1}M + \angle AC_{1}M = 90^ \circ + 90^ \circ = 180^\circ[/tex],

то около всеки от четириъгълниците [tex]BC_{1}MA_{1}, \, CB_{1}MA_{1}[/tex] и [tex]AC_{1}MB_{1}[/tex] можем да опишем окръжност.

Така [tex]\angle C_{1}MA_{1} = \angle A_{1}MB_{1} = \angle C_{1}MB_{1} = 180^ \circ - 60^ \circ = 120^ \circ[/tex].

От [tex]\triangle MC_{1}A_{1}[/tex] по косинусовата теорема пресмятаме

[tex]A_{1}C_{1}^2 = C_{1}M^2 + A_{1}M^2 - 2 . C_{1}M . A_{1}M . cos 120 ^ \circ \Leftrightarrow A_{1}C_{1} = 26[/tex].

Аналогично от [tex]\triangle MA_{1}B_{1}[/tex] и [tex]\triangle MC_{1}B_{1}[/tex] също по косинусовата теорема изчисляваме

[tex]A_{1}B_{1} = \sqrt{291}[/tex] и [tex]B_{1}C_{1} = 19[/tex].

[baroveca]

страната на триъгълника можеше и по-лесно да я намерите. Просто за по-лесно и разбираемо заместете във формулата [tex]h=\frac{a\sqrt{3} }{ 2}[/tex]