Задача за триъгълник

[Гост]

http://prntscr.com/ag3fzm

[mail_dinko]

Прилагаме два пъти косинусовата теорема, правим система
[tex]\begin{array}{|l}a^2=b^2+c^2-2bccos \angle CAB \\ b^2=a^2+c^2-2ac cos \angle CBA \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}a^2=b^2+(2 \sqrt {3})^2-2.2 \sqrt {3}bcos 30 ^\circ \\ b^2=a^2+(2 \sqrt {3})^2-2.2 \sqrt {3} a cos 45 ^\circ \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}a^2=b^2+12-\cancel{2.}2 \sqrt {3}b . \frac {\sqrt {3}}{\cancel{2}} \\ b^2=a^2+12-\cancel{2.}2 \sqrt {3} a . \frac {\sqrt {2}}{\cancel{2}} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a^2=b^2 +12 -6b \\ b^2=a^2+12 - 2 \sqrt {6} a \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a^2-b^2 =12 -6b |:(-1) \\ b^2-a^2 =12 - 2 \sqrt {6} a \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} b^2-a^2 =6b-12 \\ b^2-a^2 =12 - 2 \sqrt {6} a \end{array}[/tex]
Приравняваме двете десни части
[tex]6b-12=12-2 \sqrt {6} a \Leftrightarrow 6b=24 -2 \sqrt {6} a |:2 \Leftrightarrow 3b =12 - \sqrt {6} a \Rightarrow \fbox {b= \frac {12- \sqrt {6} a}{3}}[/tex]
Заместваме в [tex]b^2-a^2 = 12 - 2 \sqrt {6} a[/tex]
[tex](\frac {12- \sqrt {6} a}{3})^2-a^2 = 12 - 2 \sqrt {6} a[/tex]
[tex]\frac {144-24\sqrt {6} a+ 6a^2}{9}-a^2 - 12 +2 \sqrt {6} a=0|.9[/tex]
[tex]144-24 \sqrt {6} a + 6a^2 - 9 a^2 - 108 + 18 \sqrt {6} a =0[/tex]
[tex]36-6 \sqrt {6} a - 3a^2 =0 |:3[/tex]
[tex]12- 2 \sqrt {6} a- a^2=0[/tex]
[tex]a^2 + 2 \sqrt {6} a -12 =0[/tex]
[tex]D= (\sqrt {6})^2 +12 = 6+12 = 18 = (3 \sqrt {2})^2[/tex]
[tex]\fbox{a = 3 \sqrt {2} - \sqrt {6}}[/tex]
[tex]b= \frac {12- \sqrt {6} (3 \sqrt {2} - \sqrt {6})}{3}= \frac {12-6 \sqrt {3}+6}{3}=\frac {18-6 \sqrt {3}}{3}=\frac {\cancel{3}(6-2 \sqrt {3})}{\cancel {3}}[/tex]
[tex]\fbox {b= 6-2 \sqrt {3}}[/tex]
Построяваме височината [tex]CH= h_c[/tex]. Получава се равнобедрен [tex]\Delta CHB:\angle H = 90 ^\circ[/tex]
[tex]sin \angle HBC = \frac {h_c}{a} \Leftrightarrow sin 45 ^\circ = \frac {h_c}{\sqrt {2} (3- \sqrt {3})}
\Leftrightarrow \frac {\sqrt {2}}{2} = \frac {h_c}{\sqrt {2} (3- \sqrt {3})}[/tex]
[tex]h_c = \frac {\cancel {(\sqrt {2})^2} (3 -\sqrt {3})}{\cancel {2}} \Rightarrow \fbox {h_c = 3 -\sqrt {3}}[/tex]
Може и да имам изчисл. грешки - утре ще огледам

[mail_dinko]

[tex]a = 3 \sqrt {2} - \sqrt {6}[/tex]
[tex]b= 6-2 \sqrt {3}[/tex]
[tex]c = 2 \sqrt {3}[/tex]
[tex]h_c = 3 -\sqrt {3}[/tex]
[tex]m_c = \frac {\sqrt {2b^2+2a^2-c^2}}{2}= \frac {\sqrt {2(6-2 \sqrt {3})^2+2(3 \sqrt {2} - \sqrt {6})^2-(2 \sqrt {3})^2}}{2}[/tex]
[tex]m_c = \frac {\sqrt {2(36-24 \sqrt {3}+ 12)+2 (18+6-12 \sqrt {3})-12}}{2}= \frac {\sqrt {2(48-24 \sqrt {3})+2 (24-12 \sqrt {3})-12}}{2}[/tex]
[tex]m_c = \frac {\sqrt {96-48 \sqrt {3}+48-24 \sqrt {3}-12}}{2}= \frac {\sqrt {132-72 \sqrt {3}}}{2}= \frac {\sqrt {4(33-18 \sqrt {3})}}{2}[/tex]
[tex]m_c = \frac { \cancel {2} . \sqrt {33-18 \sqrt {3}}}{\cancel {2}} \Rightarrow \fbox { m_c= \sqrt {33-18 \sqrt {3}}}[/tex]
[tex]R = \frac {abc}{4S}= \frac {abc}{4 . \frac {c.h_c}{2}}= \frac {ab \cancel {c}}{2 \cancel {. 2. } \frac { \cancel {c.}h_c}{\cancel {2}}}[/tex]
[tex]R = \frac {ab}{2 h _c}= \frac {(3 \sqrt {2} - \sqrt {6})(6-2 \sqrt {3})}{2( 3 -\sqrt {3})}= \frac {(3 \sqrt {2} - \sqrt {6})\cancel {.2.} \cancel {(3- \sqrt {3})}}{\cancel{2} \cancel {( 3 -\sqrt {3})}} \Rightarrow \fbox {R = 3 \sqrt {2} - \sqrt {6}}[/tex]

[mail_dinko]

[tex]a = 3 \sqrt {2} - \sqrt {6}[/tex]
[tex]b= 6-2 \sqrt {3}[/tex]
[tex]c = 2 \sqrt {3}[/tex]
[tex]l_c = \sqrt {ab - \frac {abc^2}{(a+b)^2}}= \sqrt {(3 \sqrt {2} - \sqrt {6})(6-2 \sqrt {3}) - \frac {(3 \sqrt {2} - \sqrt {6})(6-2 \sqrt {3})(2 \sqrt {3})^2}{(3 \sqrt {2} - \sqrt {6}+6-2 \sqrt {3})^2}}[/tex]
[tex]l_c = \sqrt {18 \sqrt {2} - 6 \sqrt {6} - 6 \sqrt {6} +6 \sqrt {2}-\frac {(36 \sqrt {2} -12 \sqrt {6})(6-2 \sqrt {3})}{...}}[/tex]
Довърши си.
Иначе, ако се намерят трите отсечки, на които е разделена най-дългата страна, мисля, че ще е по-лесно.

[Гост]

Питане: Ако в триъгълник са дадени страната $c$ и прилежащите ъгли $A,B$ ,какво е най- лесно да намерим?
И защо не почнем оттам?

[KOPMOPAH]

Ако е дадена страна (в случая [tex]AB[/tex]) и прилежащите й ъгли [tex]\angle CAB, \angle CBA[/tex], аз бих използвал синусова теорема за намиране на [tex]a, b[/tex] и [tex]R[/tex].