Задачи за вектори

[Гост]

Хей,
нищо не измислих по задачките
ако имате някакви идеи или решения моля споделете

[Гост]

Ще изчакаме някой от другия край на земята, дето ходят надолу с главата

[Гост]

Не знам защо така е излязла. Това трябва да работи
https://gyazo.com/dcc2edbc2f1e638b6869a8b9d31b144b

[Гост]

Когато публикувате нещо, предварително погледнете на прегледай.

[Knowledge Greedy]

Избираме векторна база и означаваме [tex]\vec { CB} = \vec {a}[/tex] и [tex]\vec {CA} = \vec{b}[/tex]

Перпендикулярност в един интересен триъгълник.png (5.13 KiB) Прегледано 220 пъти

Нека [tex]\vec{CD}=\delta \vec{b} \,\ \Rightarrow \,\ \vec{AD}=(\delta -1) \vec{b}[/tex]

От [tex]\vec{CH}\bot \vec{AB} \,\ \Rightarrow \,\ \vec{CH}. (\vec{a}-\vec{b})=0[/tex]
Но по условие
[tex]\vec{CH}\bot \vec{AB}=\frac{1}{4}\vec {a}+\frac{3}{4}\vec {b}[/tex] (защото [tex]BH:DH=3:1[/tex])
следователно
[tex]\left ( \frac{1}{4}\vec {a}+\frac{3}{4}\vec {b} \right )(\vec{a}-\vec{b})=0[/tex]
След разкриване на скобите, за дължините на двата базисни вектора [tex]\vec {a}[/tex] и [tex]\vec{b}[/tex] получаваме
[tex]a^2-2\vec{a}\vec{b}-3b^2=0 \,\ (\ast)[/tex]

Имаме и второ условие за перпендикулярност
[tex]\vec{CD}\bot \vec{DB} \,\ \Leftrightarrow \,\ \vec{CD}. \vec{DB}=0[/tex]
То е равносилно на
[tex]\delta \vec{b}.( \vec{a}-\delta \vec{b})=0 \,\ \Leftrightarrow \,\ \vec{a}\vec{b}=\delta b^2[/tex]
Заместваме от последния резултат в [tex](\ast)[/tex] и получаваме,
че
[tex]a^2=(4\delta -3\delta^2)b^2 \,\ (\ast \ast)[/tex]

След като знаем толкова много за [tex]\Delta ABC[/tex], да напишем векторите по медианите [tex]\vec{CK}[/tex] и [tex]\vec{AK}[/tex] съответно на триъгълниците [tex]\Delta BCD[/tex] и [tex]\Delta ABD[/tex], и да изчислим скаларното им произведение.
[tex]\vec{CK}= \frac{1}{2} \left (\vec { CB} +\vec { CD} \right )[/tex]
[tex]\vec{AK}= \frac{1}{2} \left (\vec { AB} +\vec { AD} \right )[/tex]
Записваме скаларното им произведение с базисните вектори.
[tex]\vec{CK}.\vec{AK}=\frac{1}{4}\left [ (\vec{a}+\delta \vec{b})(\vec{a}+(\delta-2) \vec{b}) \right ][/tex]
След преработване
[tex]\vec{CK}.\vec{AK}=\frac{1}{4}\left [ a^2+ (3\delta^2-4\delta)b^2) \right ][/tex]

Остана да заместим в това равенство [tex]a^2[/tex] с неговото равно от [tex](\ast \ast)[/tex] и получаваме [tex]\vec{CK}.\vec{AK}=0[/tex], което означава, че [tex]\vec{CK} \bot \vec{AK}[/tex] - к.т.д.