Задача от синусова теорема

[Гост]

Малко помощ със следната задачка:
В равнобедрен триъгълник с ъгъл при основата [tex]\alpha[/tex] е вписана окръжност с радиус r. Построена е права през връх на основата и центъра на окръжността. Да се намери отсечката от тази права, която е в триъгълника.

[nobody]

Центъра на вписаната окръжност в триъгълника е пресечната точка на ъглополовящите, т.е. трябва да намерим ъглополовящата на ъгъла при основата. AL - ъглополовяща, L[tex]\in[/tex]BC, точка I - центъра на вписаната окръжност, CH - височина, ъглополовяща и медиана

AL = AI + IL
В триъгълник AHI, [tex]\angle[/tex]AHI = 90[tex]^\circ[/tex]
sin([tex]\alpha[/tex]/2) = r/AI, AI = r/sin([tex]\alpha[/tex]/2)

В триъгълник BIL използваме синусова теорема

IL/sin([tex]\alpha[/tex]/2) = BI/sin(180[tex]^\circ[/tex] - 3[tex]\alpha[/tex]/2), IL = r/sin(3[tex]\alpha[/tex]/2)

AL = r/sin(3[tex]\alpha[/tex]/2) + r/sin([tex]\alpha[/tex]/2) = (2rsin([tex]\alpha[/tex])*cotg([tex]\alpha[/tex]/2))/sin(3[tex]\alpha[/tex]/2)