Ъглополовящата и медицентър

[Гост]

Здравейте! Може ли да ми помогнете със следните задачи, защото изпитвам затруднения в решаването им, ако може да ги опишете по-подробно.
1 задача/ Намерете ъглополовящите на триъгълник със страни a=5 cm, b=11 cm, c=8 cm.
2 задача/ Точка G e медицентърът на на триъгълник ABC със страни AB=c, BC=a, AC=b. Докажете, че ако ъгъл AGB=90 градуса, то а^{2}+b^{2}=5c^{2}
Обяснение с думи: а на квадрат + b на квадрат = 5 c на квадрат.

[KOPMOPAH]

За втората задача трябва да се използват формулите, даващи връзка между страните на триъгълника и медианата:
[tex]m_a=\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{2}[/tex] и [tex]m_b=\frac{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}{2}[/tex].
В правоъгълния триъгълник $AGB$ $AG=\frac{2}{3}m_a=\frac{\cancel 2}{3}\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{\cancel 2} = \frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{3}$, и по същия начин $BG=\frac{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}{3}$
Прилагаме Питагорова теорема за $\Delta ABG$ и получаваме $ c^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{9}+\frac{2a^2+2c^2-b^2}{9}$, откъдето следва (след извършване на действията), че $a^2+b^2=5c^2$

[KOPMOPAH]

В първата задача трябва да се използват:
1) свойството на ъглополовящата да дели страната на отсечки, пропорционални на прилежащите страни
2) формулата за дължината на ъглополовящата, изразена чрез тези отсечки и страните.

Например, ъглополовящата през върха $C$ пресича $AB$ в т. $D$ и дели страната $AB$ на отсечки $AD$ и $AD$, за които е вярно съотношението $AD:DB=b:a=5:11$, $AD=5x$, $DB=11x$, $11x+5x=8 \Rightarrow 16x=8 \Rightarrow x=0,5$, $AD=2,5$, $DB=5,5$
$CD^2=BC.BD-AC.AD=11.5,5-5.2,5=60,5-12,5=48 \Rightarrow CD=4\sqrt{3}$
По същия начин се намират и другите ъглополовящи.