Уравнение

[Гост]

Трябва да се реши уравнението:
[tex]x|x + 1| + a = 0, x = ?[/tex]

[Davids]

Трябва да се реши уравнението:
[tex]x|x + 1| + a = 0, x = ?[/tex]

[tex]x|x + 1| + a = 0[/tex]
[tex]x|x + 1| = -а[/tex]
Разглеждаме случаи:

I сл. за [tex]a < 0[/tex]:
Тъй като [tex]x|x + 1| = -а[/tex] и [tex]a < 0[/tex] [tex]\Rightarrow x|x + 1| > 0 \Rightarrow x > 0[/tex], тъй като модулът винаги е положителен.
След като намерихме допустимите стойности, можем да разкрием модула. И понеже [tex]x > 0 \Rightarrow x + 1 > 0[/tex].
Следователно можем да изразим модула чрез скоби:
[tex]x(x+1) + a = 0[/tex]
[tex]x^{2} + x + a = 0[/tex]
[tex]D = 1 - 4a[/tex]
[tex]x_{1, 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4a}}{2}[/tex]
Но след като имаме диференцирани допустими стойности [tex]x > 0[/tex], единствен корен остава [tex]x = \frac{-1 + \sqrt{1 - 4a}}{2}[/tex]

II сл. за [tex]a = 0[/tex]:
[tex]x|x+1| = 0[/tex]
Откъдето лесно се вижда, че:
[tex]x_{1} = 0; x_{2} = -1[/tex]

III сл. за [tex]a > 0[/tex]:
Аналогично като при първия случай, от [tex]a > 0[/tex] следва, че [tex]x < 0[/tex].
Имаме:
[tex]x|x+1| = -a[/tex]
[tex]|x+1| = -\frac{a}{x}[/tex]
След като не можем да премахнем модула директно, следва да разгледаме два случая:
-а)
[tex]x+1 = -\frac{a}{x}[/tex]
[tex]\Rightarrow x^{2} + x + a = 0[/tex]
[tex]D = 1 - 4a[/tex], но [tex]a > 0 \Rightarrow[/tex] този случай е възможен само за [tex]a\in (0; \frac{1}{4}][/tex]
Получаваме [tex]x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4а}}{2}[/tex] и тъй като [tex]\sqrt{1-4а} < 1[/tex] за стойностите на [tex]а[/tex] в този случай, то и двата корена са отрицателни [tex]\Rightarrow[/tex] валидни.
-б)
[tex]x+1 = \frac{a}{x}[/tex]
[tex]\Rightarrow x^{2} + x - a = 0[/tex]
[tex]D = 1 + 4a > 0[/tex] за [tex]а > 0[/tex]
Получаваме: [tex]x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4a}}{2}[/tex]
И тъй като [tex]x < 0[/tex] и [tex]a > 0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] че единствен отрицателен и съответно валиден корен е: [tex]x = \frac{-1-\sqrt{1+4а}}{2}[/tex]

П.С.: Чувствам се недостойно поради факта, че нямам 10. клас още, ама все пак би трябвало г-д така да изглежда решението (ако не съм объркал нещо елементарно някъде )...