Задача по математика за 10 клас анубис заключителен тест

[Гост]

В триъгълник ABC: AB=1, AC=[tex]\sqrt{3}[/tex] и ъгъл ABC= 30 градуса . Останалите 2 ъгъла на триъгълника са?

[Davids]

Правиш косинусова теорема за [tex]AC[/tex], като страната [tex]BC[/tex] ще я означим с [tex]x[/tex]:
[tex]\sqrt{3}^2 = 1^2 + x^2 - 2.1.x.cos30^\circ[/tex]
[tex]3 = 1 + x^2 - \cancel{2}.x.\frac{\sqrt{3}}{\cancel{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow x^2 - \sqrt{3}x - 2 = 0[/tex]
[tex]D = 11[/tex]
И единствен положителен корен е [tex]x = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{11}}{2}[/tex]см, което ти е третата страна.
Следва да си направиш косинусова теорема за AB, като ще означим [tex]\angle ACB = \alpha[/tex]:
[tex]1^2 = \sqrt{3}^2 + (\frac{\sqrt{3} + \sqrt{11}}{2})^2 - \cancel{2}.\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3} + \sqrt{11}}{\cancel{2}}.cos\alpha[/tex]
И след всички преобразувания ще стигнеш до:
[tex]cos\alpha = \frac{11 + \sqrt{33}}{6 + 2\sqrt{33}} = 0,95742[/tex] (калкулаторът помага )
Ако съдим по таблицата, то ъгълът с такъв синус е между 16 и 17 градуса, като аз си помогнах с едно калкулаторче от интернет и ъгълът с точност е: [tex]\alpha = 16,8^\circ (=16^\circ48')[/tex]
Така за третия [tex]\angle CAB = 180 - 30 - 16,8 = 133,2^\circ (=133^\circ12')[/tex]
Не съм преобразувал в минути, а съм ползвал дроби, тъй като карам на чиста аритметика

[pal702004]

ами $\angle C=\arcsin\left(\frac{\sqrt 3}{6}\right)\approx 16.78^o$, но съм почти сигурен, че нещо си сбъркал условието и става въпрос за правоъгълен триъгълник със страни $2,\sqrt 3,1$

[Davids]

ами $\angle C=\arcsin\left(\frac{\sqrt 3}{6}\right)\approx 16.78^o$, но съм почти сигурен, че нещо си сбъркал условието и става въпрос за правоъгълен триъгълник със страни $2,\sqrt 3,1$

И на мен ми се видяха малко сложнички сметките, тъй като без помощта на калкулатор трудно се решават, а би трябвало да е тест. И все пак... радвам се на еднаквостта на резултата

[pal702004]

Davids, синусовата теорема е много по-подходяща. Така или иначе се стига до верният отговор (ако е вярно условието, което ме съмнява)

[Гост]

Задачата трябва да е със формули за 10 клас и възможните отговори са:
а) 90 градуса и 60 градуса
б) 30 и 120
в) 90 и 60 или 30 и 120
г) не може да се определи

Верният отговор трябва да е В)

[Гост]

Синусова теорема и получаваме[tex]sin\gamma=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
За ъгъл гама има две възможности- или 60 или 120 градуса. Ако гама е 60 то другите два ъгъла са 30 и 90 и триъгълникът е провоъгълен. Ако е 120 градуса другите два са по 30 и триъгълникът е равнобедрен.

[Гост]

Упс, не прочетох правилно условието

[Davids]

Синусова теорема и получаваме[tex]sin\gamma=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
За ъгъл гама има две възможности- или 60 или 120 градуса. Ако гама е 60 то другите два ъгъла са 30 и 90 и триъгълникът е провоъгълен. Ако е 120 градуса другите два са по 30 и триъгълникът е равнобедрен.

По синусова теорема се получава точно това, което pal е написал горе:
[tex]\frac{\sqrt{3}}{sin30} = \frac{1}{sin\gamma}[/tex]
[tex]\Rightarrow sin\gamma = \frac{1}{2}:\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}[/tex]
*видях второто мнение *