Система

[Гост]

Здравейте! Нужна ми е помощ с тази система, защото опитвам няколко начина, но не ми се получава.
[tex]\begin{array}{|l} x^{2} - xy - 3x +2y + 5 = 0 \\ y^{2} - 3xy + 15x - 7y + 10 = 0 \end{array}[/tex]

[Davids]

Здравейте! Нужна ми е помощ с тази система, защото опитвам няколко начина, но не ми се получава.
[tex]\begin{array}{|l} x^{2} - xy - 3x +2y + 5 = 0 \\ y^{2} - 3xy + 15x - 7y + 10 = 0 \end{array}[/tex]

Наистина велика задача Изисква мислене извън рамките, отне ми доста време и безуспешни опити докато стигна до тази идея, но се получи.
Номерът тук е в магическото съкращение по следния начин, който се получава конкретно при второто уравнение:
[tex]y^{2} - 3xy + 15x - 7y + 10 = 0[/tex]
[tex](15 - 3y)x = -(y^2 - 7y + 10)[/tex]
След като разложиш тричлена в скобите от дясната страна на множители (получават се едни хубави кръгли решения - [tex]y_1 = 5; y_2 = 2[/tex] - и направо муцка ), ще получиш:

[tex]3(5-y)x = -(y-5)(y-2)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3\cancel{(5-y)}x = \cancel{(5-y)}(y-2)[/tex]
[tex]3x = y-2[/tex]
И окончателно: [tex]x = \frac{y-2}{3}[/tex]

Оттам заместваш в горното уравнение и се получава:
[tex]x^{2} - xy - 3x +2y + 5 = 0[/tex]
[tex]\frac{(y-2)^2}{9} - y.\frac{y-2}{3} - 3.\frac{y-2}{3} + 2y + 5 = 0[/tex]

Разширен вид след превеждане под общ знаменател:
[tex]y^2 - 4y + 4 - 3y^2 + 6y - 9y + 18 + 18y + 45 = 0[/tex]

След нормализиране:
[tex]2y^2 - 11y - 67 = 0[/tex]
[tex]D = 121 + 536 = 657 = (3\sqrt{73})^2[/tex]

Оттам двете ти двойки решения:
[tex]y_1 = \frac{11 + 3\sqrt{73}}{4}; x_1 = \frac{y_1-2}{3} = ... = \frac{1 + \sqrt{73}}{4}[/tex]
[tex]y_2 = \frac{11 - 3\sqrt{73}}{4}; x_2 = \frac{y_2-2}{3} = ... = \frac{1 - \sqrt{73}}{4}[/tex]

[Гост]

Ами $y=5$ не дава ли решения?

[Гост]

Според мен написаното решение вярно на 1/3. Разлагането, за което се смята, че е велико, се получава като се разгледа второто уравнение, като уравнение относно $y$ , a $x$ се разглежда като параметър. Тогава за $y$ се получават корените $y_1=5$ , $y_2=3x+2$. Така, второто уравнение се разлага на $(y-5)(y-3x-2)=0$. Всеки от двата множителя, приравнен на 0, се комбинира с първото уравнение и се решават две прости системи.
Това е начинът.

[Davids]

Ами $y=5$ не дава ли решения?

Дава. Не знам защо бях решил, че ще се ограничат до решения само на долното уравнение, но като цяло не е така. Грешката е моя, но не мога да редактирам решението, така че остава да се погледне темата до долу, че да не се гледат моите глупости горе