Зад ромб

[Гост]

Острият ъгъл на ромб е алфа.През върха му е построена права,която дели ъгъла в отношение 1:2.В какво отношение тази права дели страната на ромба?

Отг: cosалфа/2 : cosалфа/6

[Nathi123]

Нека правата пресича страната CD на ромба в точка М. От условието на задачата следва,че [tex]\angle DAM = \frac{\alpha}{3}; \angle MAB = \angle DMA = \frac{2\alpha}{3} , ABCD - ромб \Rightarrow \angle CAD = \angle CAB = \frac{\alpha}{2} \Rightarrow \angle MAC = \frac{\alpha}{6}.[/tex] От синусова теорема за [tex]\Delta DAM \Rightarrow \frac{MD}{sin\frac{\alpha}{3}}=\frac{AD}{sin\frac{2\alpha}{3}}\Rightarrow DM=\frac{a}{2cos\frac{\alpha}{3}},[/tex] ( а е страната на ромба) . [tex]\angle AMD=\frac{2\alpha}{3}\Rightarrow \angle AMC = 180^\circ - \frac{2\alpha}{3}[/tex]
От синусова т-ма за [tex]\Delta MAC\Rightarrow \frac{MC}{sin\frac{\alpha}{6}}= \frac{AC}{sin\frac{2\alpha}{3}}; \Delta ADC \Rightarrow AC = 2a cos\frac{\alpha}{2}\Rightarrow MC = \frac{acos\frac{\alpha}{2}}{2cos\frac{\alpha}{6}cos\frac{\alpha}{3}}\Rightarrow \frac{DM}{MC} = \frac{cos\frac{\alpha}{6}}{cos\frac{\alpha}{2}}[/tex]

[Davids]

От синусова т-ма за [tex]\Delta MAC\Rightarrow \frac{MC}{sin\frac{\alpha}{6}}= \frac{AC}{sin\frac{2\alpha}{3}}; \Delta ADC \Rightarrow AC = 2a cos\frac{\alpha}{2}\Rightarrow MC = \frac{acos\frac{\alpha}{2}}{2cos\frac{\alpha}{6}cos\frac{\alpha}{3}}\Rightarrow \frac{DM}{MC} = \frac{cos\frac{\alpha}{6}}{cos\frac{\alpha}{2}}[/tex]

Тук лично бих попитал за обяснение. Не е ли редно:
От синусова т-ма за [tex]\Delta MAC\Rightarrow \frac{MC}{sin\frac{\alpha}{6}}= \frac{AC}{sin(180 - \frac{2\alpha}{3})}[/tex], тъй като срещу[tex]AC[/tex] в [tex]\Delta MAC[/tex] ;ежи ъгъл AMC, за който горе изрично казахме, че е равен на [tex]180 - \frac{2\alpha}{3}[/tex]?
Също как от [tex]\Delta ADC[/tex] следва даденото равенство за AC, че ми се губи материал
Благодаря!

[Гост]

Също като davis не разбрах как се стига до изразяването на AC. Благодаря за помощта:)

[Гост]

Разбрах го.Sin T за триъгълник ADC много бързо излиза изразяването на AC.

[Nathi123]

Използвам тригонометрични равенства : [tex]sin ( 180 ^\circ - \frac{2\alpha}{3}) = sin \frac{2\alpha}{3}, също sin\frac{2\alpha}{3}= 2sin\frac{\alpha}{3}cos\frac{\alpha}{3}[/tex] Аналогични разсъждения за триъг. ADC и намирането на АС. АС може да се намери и например ,ако означим пресечната точка на диаг. на ромба с О и разгледаме триъг.DOC[tex]\Rightarrow \frac{OC}{DC} = cos\frac{\alpha}{2}\Rightarrow \frac{AC}{2} = a.cos\frac{\alpha}{2}[/tex].