Зад триъгълнил

[Гост]

В [tex]\Delta[/tex] АBC са построени медианите AD и CE, AD=5см, \angle DAC = 22°30' и \angle ECA= 45°. Да се намери лицето на ABC .

Отг: 25/3

[Anubis]

Ясно е, че [tex]S_{\Delta ABC} = 3S_{\Delta AMC}[/tex]. Значи е достатъчно да намерим [tex]S_{\Delta AMC}[/tex]. Него ще пресметнем по формулата

[tex]S_{\Delta AMC} = \frac{AM \cdot CM}{2} \sin \angle AMC[/tex].

Нека [tex]AD \cap CE = M[/tex]. Тогава точката [tex]M[/tex] е медицентър на [tex]\Delta ABC[/tex] и [tex]AM:MD=2:1 \Rightarrow \fbox{AM = \frac{10}{3}}[/tex].

[tex]\Delta AMC: \, \, \, \frac{CM}{\sin 22^\circ 30'} = \frac{AM}{\sin 45^\circ} \, (*)[/tex]

От тъждеството [tex]\sin 22^\circ 30' = \sqrt{\frac{1-\cos 45^\circ}{2}}[/tex] пресмятаме [tex]\sin 22^\circ 30' = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}[/tex].

Замествайки в равенството [tex](*)[/tex], получаваме [tex]\fbox{CM = \frac{10\sqrt{2-\sqrt{2}}}{3\sqrt{2}}}[/tex].

Лесно изчисляваме (след прилагане на формулата за синус от сбор и преобразуване)

[tex]\fbox{\sin \angle AMC} = \sin (22^\circ 30' + 45^\circ) = {\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2-\sqrt{2}}}}[/tex].

Следователно [tex]S_{\Delta AMC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{3} \cdot \frac{10\sqrt{2-\sqrt{2}}}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2-\sqrt{2}}} = \frac{10 \cdot 10}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 5}{3 \cdot 3} \Rightarrow S_{\Delta ABC} = \frac{25}{3}[/tex].

[Гост]

От тъждеството [tex]\sin 22^\circ 30' = \sqrt{\frac{1-\cos 45^\circ}{2}}[/tex] пресмятаме [tex]\sin 22^\circ 30' = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}[/tex].


Това тъждество от sin T в AMC ли се доказва или по друг начин?

[Гост]

Разбрах, формула за половин ъгъл. Благодаря