Окръжност

[Гост]

Да се намери отношението на основата и бедрото на равнобедрен триъгълник , за който центърът на описаната окръжност лежи върху вписаната окръжност.
Отг 2-√2 , ще съм благодарна ако може и чертеж

[Гост]

Нямам време да чертая, но си начертай един правоъгълен равнобедрен триъгълник и си решила задачата....

[Anubis]

[tex]\Delta AJH: \, \, \, \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{AH}{AJ}=\sqrt{\frac{R^2-4r^2}{R^2-3r^2}}, \, \sin\frac{\alpha}{2}=\frac{JH}{AJ}=\frac{r}{\sqrt{R^2-3r^2}}[/tex]

Като използваме формулата за косинус на удвоен ъгъл, получаваме [tex]\cos\alpha = \frac{R^2-5r^2}{R^2-3r^2} \, \, \, (*)[/tex].

[tex]\frac{AH}{AC}=\frac{JH}{JC}[/tex] (свойство на ъглополовящата [tex]AJ[/tex] в [tex]\Delta AHC[/tex]) [tex]\Rightarrow \frac{AH}{AC} = \cos\alpha = \frac{r}{R+r} \, \, \, (**)[/tex]

[tex](*), \, (**) \Rightarrow \frac{R^2-5r^2}{R^2-3r^2}=\frac{r}{R+r} \Rightarrow \frac{1-5 \left ( \dfrac{r}{R} \right )^2}{1-3 \left ( \dfrac{r}{R} \right )^2} = \frac{\dfrac{r}{R}}{1+\dfrac{r}{R}}; \, \frac{r}{R}=u>0 \Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow 2u^3+5u^2-1=0 \Rightarrow u=\sqrt{2}-1 \Rightarrow \frac{r}{R}=\sqrt{2}-1[/tex]

Сега [tex]\frac{AB}{AC}=2\frac{AH}{AC}=2\cos\alpha=2\frac{r}{R+r}=2\frac{\dfrac{r}{R}}{1+\dfrac{r}{R}}=2-\sqrt{2}[/tex].