Лице на триъгълник ABC по дължина на ъглополовяща

[Гост]

Благодаря предварително

[Davids]

Изненадващо получавам досущ същия отговор, само че на двете места вместо [tex]sin^2\alpha[/tex] ми излиза [tex]sin2\alpha[/tex]. Ще споделя, пък да го обсъдим.
Ето го съответния чертеж (веднага ставя ясно, че щом медианата е половината от страната, то тази страна е хипотенуза и триъгълникът е правоъгълен):

chertej_pravoug_triug.png (24.21 KiB) Прегледано 686 пъти

[tex]\angle CLB = \alpha + 45[/tex], тъй като е външен за [tex]\Delta АLC[/tex].
Сега ще изразя височината така:
[tex]sin(\alpha + 45) = \frac{h}{l} \Rightarrow h = l.sin(\alpha + 45) = ... = \frac{\sqrt{2}.l}{2}(sin\alpha + cos\alpha)[/tex]
Тук ще използвам реда на мисли, за да вмъкна разширението на израза, което ще ни е нужно по-напред, за да се структурира по-добре решението. Ще ни потрябва втората степен на височината, ще развием гореполученото равенство:
[tex]h^2 = \frac{2l^2}{4}(1 + 2sin\alpha.cos\alpha) = \frac{l^2(1 + sin2\alpha)}{2}[/tex]

Едната част от лицето (височината) намерихме, остава да се заемем с основата [tex]c[/tex], която в случая ще изразим чрез страната [tex]a[/tex] и дадения ъгъл:
[tex]sin\alpha = \frac{a}{c} \Rightarrow c = \frac{a}{sin\alpha}[/tex]

Следващото нещо може да бъде изведено по много начини, принципно се знае от девети клас, но аз си поиграх с излишно изразяване чрез [tex]sin(90-\alpha)[/tex]. Но тук ще ползвам следното:
[tex]ab = ch \Leftrightarrow a = \frac{ch}{b} = \frac{h}{\frac{b}{c}} = \frac{h}{cos\alpha}[/tex]

Скрит текст: покажи

Както казах, до същото нещо можеш да стигнеш и ако използваш [tex]sin(90-\alpha)[/tex] в [tex]\Delta BDC[/tex]:
[tex]sin(90-\alpha) = \frac{h}{a} \Rightarrow a = \frac{h}{sin(90-\alpha)} = \frac{h}{cos\alpha}[/tex]

След като имаме [tex]a[/tex], заместваме в [tex]c[/tex] и получаваме:
[tex]c = \frac{h}{sin\alpha.cos\alpha}[/tex]

Вече изразяваме лицето:
[tex]S = \frac{1}{2}c.h = \frac{1}{2}.\frac{h}{sin\alpha.cos\alpha}.h = \frac{h^2}{2sin\alpha.cos\alpha} = \frac{h^2}{sin2\alpha}[/tex]
Заместваме [tex]h^2[/tex] от по-горе:
[tex]S = \frac{l^2(1+sin2\alpha)}{2}.\frac{1}{sin2\alpha} = l^2\frac{1 + sin2\alpha}{2sin2\alpha}[/tex]

И това е за което говорих по-горе - същият отговор, но само двойката е коефициент, а не степен Очаквам мнения, че ми стана интересно

П.П.: Решението може да прозвучи излишно подробно и детайлно, но това е с цел да покажа пълния си ред на мисли и евентуално да ми се посочи в последствие грешката (имам такива съмнения поради разминаването в отговора )

[Гост]

Благодаря ти. Проследих цялото решение и не откривам грешка. Възможно е да е печатна. А относно подробното обяснение, ще бъде много добре, ако всички описваха така подробно задачите. Аз не намирам грешка

[Гост]

Задачата може да се реши и по-кратко, ако се знае формулата [tex]l_c=\frac{ab}{a+b}\sqrt{2}[/tex]
Ако с х означим СМ=АМ=МВ, то
[tex]x=\frac{l(sin\alpha+cos\alpha)}{2sin2\alpha}\sqrt{2}[/tex]

[tex]S=\frac{ab}{2}=>S=x^2sin2\alpha[/tex]

След заместване на х се получава [tex]S=\frac{l^2(1+sin2\alpha)}{2sin2\alpha}[/tex]