правоъгълен тр

[Гост]

зад 41

[Anubis]

[tex]AD=BD=ED=x, \, \angle BAC=\alpha \Rightarrow \angle ABC=90^\circ-\alpha \Rightarrow \angle EBC=45^\circ-\alpha[/tex].

[tex]CE=CB \Leftrightarrow \angle CEB=\angle CBE=45^\circ-\alpha[/tex]

[tex]ED=CD=\frac{1}{2}AB \Leftrightarrow \angle DEC=\angle ECD=90^\circ-\alpha \Rightarrow \angle EDC=2\alpha[/tex]

[tex]\Delta ECB: \, \, \, EC^2 = EB^2 + BC^2 - 2 \cdot EB \cdot BC \cdot \cos (45^\circ-\alpha) \Rightarrow x = \sqrt{2} \cos (45^\circ-\alpha) \, \, \, (*)[/tex]

[tex]\Delta EDC: \, \, \, EC^2 = ED^2 + CD^2 - 2 \cdot ED \cdot CD \cdot \cos 2\alpha \Rightarrow \sin\alpha = \frac{1}{2x} \, \, \, (**)[/tex]

[tex](*) \Rightarrow x = \sin\alpha+\cos\alpha, \, \cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha} \Rightarrow x = \frac{1}{2x} + \sqrt{1-\frac{1}{4x^2}} \, \, \, (***)[/tex]

Тъй като симетралата на [tex]AB[/tex] пресича катета [tex]AC[/tex], то трябва [tex]AC>BC \Rightarrow AC>1 \Rightarrow x^2>\frac{1}{2}[/tex].

От [tex](***)[/tex] достигаме до ирационалното уравнение [tex]\sqrt{4x^2-1}=2x^2-1[/tex], откъдето получаваме [tex]x=\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}[/tex].

[tex]S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot \sqrt{4x^2-1} \cdot \frac{1}{2x} = \frac{\sqrt{4x^2-1}}{2} = \frac{1+\sqrt{2}}{2}[/tex]

[Евва]

Да построим окръжност К(D ; R=[tex]\frac{АВ}{2}[/tex]) описана около [tex]\triangle[/tex]АВС .
Според мен т.Е лежи на тази окръжност ,защото DE=[tex]\frac{AB}{2}[/tex]=R .
Нека [tex]\angle[/tex]САВ=[tex]\alpha[/tex] ,знаем [tex]\angle[/tex]АВЕ=45[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ЕВС=45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]
Дадено е ,че [tex]\triangle[/tex]ЕВС е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ВЕС=45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]
Вписаните [tex]\angle[/tex]ВАС и [tex]\angle[/tex]ВЕС отсичат една и съща дъга [tex]\Rightarrow[/tex] са равни т.е. [tex]\alpha[/tex]=45[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\alpha[/tex]=([tex]\frac{45}{2})[/tex][tex]^\circ[/tex]
Предварително ще намерим cotg([tex]\frac{45}{2})[/tex][tex]^\circ[/tex]

cotg([tex]\frac{45}{2})[/tex][tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{1+cos45^\circ}{sin45^\circ}[/tex]= ... =1+[tex]\sqrt{2}[/tex]
___________________________________________________________________________________________

[tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]\frac{AC.BC}{2}[/tex]=[tex]\frac{cotg\alpha.1}{2}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex].cotg([tex]\frac{45}{2})[/tex][tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{1+\sqrt{2}}{2}[/tex] [tex]см.^{2}[/tex]