Равнобедрен триъгълник - cos ъгъл

[Гост]

зад 42. Благодаря предварително

[Nathi123]

AC=BC по условие; построяваме CH[tex]\bot AB \Rightarrow CH-медиана[/tex] за ABC[tex]\Rightarrow S_{ACH }=\frac{S_{ABC}}{2}=\frac{1}{2} , MN\bot AB \Rightarrow MN || AB \Rightarrow \Delta AMN \approx \Delta AHC \Rightarrow \frac{AM}{AC}=\frac{MN}{CH} ; AM=AH[/tex]
( допират. от т.А към вписаната в АВС окр.) [tex]\Delta ACH \Rightarrow \frac{AH}{AC} = sin\frac{\gamma}{2} \Rightarrow\frac{AH}{AC}=sin\frac{\gamma}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow\frac{S_{AMN }}{S_{ACH }}=(\frac{AM}{AC})^{2}= sin^{2}\frac{\gamma}{2}\Rightarrow S_{AMN }=\frac{sin^{2}\frac{\gamma}{2}}{2}=1-S_{NBCM }=1-a;[/tex] [tex]sin^{2}\frac{\gamma}{2}=\frac{1-cos\gamma}{2}\Rightarrow \frac{1-cos\gamma}{4} = 1-a \Leftrightarrow cos\gamma =4a-3[/tex] .

[TheCharmedOne]

Много благодаря!