ъглополовящи

[Гост]

зад 47

[Anubis]

При стандартните означения наготово ще използваме, че [tex]p(p-c)=\frac{(a+b)^2-c^2}{4} \, \, \, (*)[/tex].

1. По формулата за ъглополовяща пресмятаме [tex]CL=\frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)}[/tex].

2. [tex]CL \bot CF, \, CL=CF \Leftrightarrow \angle CLF=\angle CFL=45^\circ[/tex]

3. [tex]\frac{AC^2+BC^2}{R^2} = \left ( \frac{AC}{R} \right )^2 + \left ( \frac{BC}{R} \right )^2 = \left ( 2\frac{AC}{2R} \right )^2 + \left ( 2\frac{BC}{2R} \right )^2 = 4(\sin^2\alpha+\sin^2\beta)[/tex]

4. [tex]\Delta ALC: \, \, \, \frac{b}{\sin135^\circ}=\frac{CL}{\sin\alpha} \Rightarrow \sin\alpha = \frac{CL \sin 135^\circ}{b}[/tex]

[tex]\, \, \, \, \, \, \, \, \Delta BLC: \, \, \, \frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{CL}{\sin\beta} \Rightarrow \sin\beta = \frac{CL \sin45^\circ}{a}[/tex]

Като заместим в израза за [tex]\frac{AC^2+BC^2}{R^2}[/tex], имаме, че [tex]4(\sin^2\alpha+\sin^2\beta) = 2CL^2 \left ( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \right )[/tex].

5. [tex]\Delta BCL: \, \, \, BC^2 = BL^2 + CL^2 - 2 \cdot BL \cdot CL \cdot \cos 45^\circ \Rightarrow c = \frac{b^2-a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex], използвайки [tex](*)[/tex].

6. [tex]\Rightarrow p(p-c) = \frac{2ab(a+b)^2}{4(a^2+b^2)} \Rightarrow CL^2 = \frac{2(ab)^2}{a^2+b^2}[/tex]

7. [tex]\Rightarrow \frac{AC^2+BC^2}{R^2} = 2 \cdot \frac{2(ab)^2}{a^2+b^2} \cdot \frac{a^2+b^2}{(ab)^2} = 4[/tex]

Можеш ли сам(а) да решиш б)?

[Nathi123]

Нека CL-вътрешната ъглополовяща,а [tex]CL_{1 }[/tex] - външната ъглополовяща ,CL=[tex]CL_{1 } , CL\bot CL_{1 }\Rightarrow\angle CLB=\angle CL_{1 }A=45^\circ ;[/tex] . Нека [tex]\angle ACB=\gamma \Rightarrow \angle CAL=45^\circ - \frac{\gamma}{2} ( \angle CLB -[/tex] външен за триъг. ALC)
Аналогично [tex]\angle LBC=135^\circ - \frac{\gamma}{2}[/tex].
От син т-ма за [tex]\Delta ABC \Rightarrow[/tex] [tex]AC=2R sin( 135^\circ -\frac{\gamma}{2} );
BC=2Rsin(45^\circ - \frac{\gamma}{2}\Rightarrow A= AC^{2} + BC^{2} = 4R^{2}(sin^{2}(135^\circ - \frac{\gamma}{2})+sin^{2}(45^\circ-\frac{\gamma}{2}))[/tex] [tex]\Rightarrow A=2R^{2}(1-cos(270^\circ - \gamma) + 1-cos(90^\circ -\gamma)) =2R^{2}(2 + sin\gamma - sin\gamma )=4R^{2} \Rightarrow \frac{A}{R^{2}} = 4.[/tex]
Ако [tex]\alpha =15^\circ = 45^\circ - \frac{\gamma}{2}\Rightarrow \gamma = 60^\circ \Rightarrow \beta = 105^\circ.[/tex] От сит. т-ма за триъг АВС[tex]\Rightarrow \frac{BC}{sin15^\circ} = \frac{AC}{sin75^\circ}\Rightarrow AC=\frac{asin75^\circ}{sin15^\circ}\Rightarrow S_{ABC }=\frac{1}{2}AC.BCsin60^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow S_{ABC }=\frac{a^{2}sin75^\circ sin60^\circ}{2sin15^\circ} ; sin75=sin(45^\circ + 30^\circ )=\frac{\sqrt{2}}{4}.(\sqrt{3}+1) ;[/tex]
[tex]sin15^\circ = sin( 45^\circ - 30^\circ ) = \frac{\sqrt{2}}{4}( \sqrt{3} -1)[/tex] ;
[tex]\Rightarrow S_{ABC } = \frac{a^{2}}{4}( 3 + 2 \sqrt{3} )[/tex] .