Равнобедрен правоъгълен триъгълник вписан в окръжност

[Гост]

зад 49

[Davids]

Чертеж:

chertej_pravougulen_vpisan.png (56.95 KiB) Прегледано 355 пъти

Решението ми ще бъде изцяло с материал за 9. клас, тъй като съм на това ниво още. Нищо, така задачите са по-интересни
Имаме хипотенуза [tex]c = 2R[/tex] и бедра равни на [tex]a = b = \sqrt{2}R[/tex]. Намираме ги или чрез синус от 45, или по питагорова теорема.
На чертежа съм означил къде се намира построеният от мен радиус на вписаната окръжност [tex]GD = r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{2\sqrt{2}R - 2r}{2} = \frac{\cancel{2}R(\sqrt{2} - 1)}{\cancel{2}} = R(\sqrt{2} - 1)[/tex].
Търсеният радиус на въпросната окръжност ще кръстим [tex]x[/tex]. Означил съм го на съответните места в чертежа.
Вижда се лесно защо [tex]OO_1 = R-x[/tex], а пък [tex]DO[/tex] ще кръстим [tex]y[/tex], за временна употреба. Сега ще решим следната система от две уравнения:
1. Първото от тях ще представлява питагорова теорема за [tex]\Delta DOO_1[/tex]:
[tex](R-x)^2 = x^2 + y^2[/tex]
2. Второто ще извлечем от подобието на [tex]\Delta DBO_1 \approx \Delta OBG[/tex]:
[tex]\frac{R(\sqrt{2} - 1)}{x} = \frac{R}{R + y}[/tex]
Откъдето можем да изразим [tex]y[/tex] по следния начин:
[tex]R+y = \frac{Rx}{R(\sqrt{2} - 1)} = \frac{x}{\sqrt{2} - 1}[/tex]
[tex]\Rightarrow y = \frac{x}{\sqrt{2} - 1} - R = ... = x(\sqrt{2} + 1) - R[/tex] //рационализираме знаменателя

Остана да заместим в горното уравнение, което междувременно може да развием така:
[tex]\cancel{x^2} + y^2 = R^2 - 2Rx + \cancel{x^2}[/tex]
[tex]2Rx = R^2 - y^2 = R^2 - [x(\sqrt{2} + 1) - R]^2 =[/tex] //заместваме [tex]y[/tex]
[tex]= R^2 - [x^2(3 + 2\sqrt{2}) - 2Rx(\sqrt{2} + 1) + R^2] =[/tex]
[tex]= \cancel{R^2} + x^2(3 + 2\sqrt{2}) + 2Rx(\sqrt{2} + 1) - \cancel{R^2}[/tex]
[tex]\Rightarrow 2Rx = x^2(3 + 2\sqrt{2}) + 2Rx(\sqrt{2} + 1) |:x[/tex]
[tex]2R = x(3 + 2\sqrt{2}) + 2R(\sqrt{2} + 1)[/tex]
[tex]\Rightarrow x(3 + 2\sqrt{2}) = 2R(\sqrt{2} + 1) - 2R = 2R\sqrt{2}[/tex]

И вече достигаме до заветният [tex]x[/tex]:
[tex]x = \frac{2R\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} = 2R\sqrt{2}(3 - 2\sqrt{2}) = 2R(3\sqrt{2} - 4)[/tex]