Поне 1 моля задачи 10 клас

[Milenaa]

1зад. Височината на еавнобедрен трапец е h а лицето му е 2h2. Да се намери тангенсът на ъгъла между диагоналите, лежащ срещу бедрото.
Отг. 4/3
2зад. Ъглите на триъгълник образуват аритметична прогресия, а най-голямата му страна е 4 пъти по-голяма от най- малката. Да се намери тангенсът на най-малкия му ъгъл.
Отг. √3/7
3зад. Върху основата АB на равнобедр. Триъг. ABC е вззета т.D така ,че AD:DB=3:4 .Да се намерят косинусите на ъглите на триъгълника, ако ∠BCD = 2 ∠ACD
Отг. 7 √6/18 ; -22/27
4зад. В триъг. ABC AB=2hc и α=75 . Да се докаже и че γ=75
5зад. Две от страните на триъг. са 4 см и 6см, а ъглите срещу тях се отннасят както 1:2. Да се намери тангенсът на най-малкия му ъгъл.
Отг. 5см
6зад. Да се намри лицето на триъг. ABC по дадени ha ; hb и γ. Как се изменя лицето, ако ha и hb са постоянни, а γ се изменя от 0 до 180 градуса ?
Отг. Hahb/2sinγ

[Davids]

1. Зад.:

trapec_trigon.png (15.7 KiB) Прегледано 389 пъти

Всичко е означено на чертежа, карам по същество.
[tex]S = \frac{a+b}{2}.h = 2h^2[/tex]
[tex]\Rightarrow a+b = 4h[/tex]
Оттам следва, че [tex]AH + DM = 2h[/tex] и ако означим [tex]DM = x[/tex], то [tex]AH = 2h-x[/tex]
Аналогично за частите от височината.
Правим система от две синусови теореми за подобните триъгълници [tex]\Delta AHE[/tex] и [tex]\Delta DEM[/tex]:
[tex]\begin{array}{|l} \frac{x}{sin(90-\frac{\alpha}{2})} = \frac{y}{sin\frac{\alpha}{2}} \\ \frac{2h-x}{sin(90-\frac{\alpha}{2})} = \frac{h-y}{sin\frac{\alpha}{2}} \end{array}[/tex]
Събираме почленно и знаем, че [tex]sin(90-x) = cosx[/tex]
Вече изглеждаме така:
[tex]\frac{2h}{cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{h}{sin\frac{\alpha}{2}}[/tex]
Вече е лесно: [tex]\frac{sin\frac{\alpha}{2}}{cos\frac{\alpha}{2}} = tg\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}[/tex]
Повдигаме на втора и заместваме с еквивалентната формула:
[tex]tg^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{4} = \frac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha}[/tex]
Оттук намираме [tex]cos\alpha = \frac{3}{5}[/tex]
[tex]sin\alpha = \sqrt{1- cos^2\alpha} = .. = \frac{4}{5}[/tex]
[tex]\Rightarrow tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{4}{3}[/tex]

2.Зад:
Означаваме трите ъгъла от прогресията така: [tex]x-d; x; x+d[/tex]
Знаем, че са равни на 180 [tex]\Rightarrow x-d + x + x + d = 180 \Leftrightarrow x = 60[/tex]
Вече е ясно, че средният ъгъл е 60 градуса. Сега най-малкия ще означим с [tex]x[/tex], a за другия ще остане [tex]120-x[/tex].
Известно е, че срещу най-малък ъгъл в триъгълник лежи най-малка страна (ще я кръстим [tex]a[/tex]) и обратно. Следователно синусовата ни теорема ще изглежда така:
[tex]\frac{a}{sinx} = \frac{4a}{sin(120-x)}[/tex]
[tex]\frac{sinx}{sin(120-x)} = \frac{1}{4}[/tex]
Разкриваме скобите използвайки формулата:
[tex]\frac{sinx}{\frac{\sqrt{3}}{2}.cosx + sinx.\frac{1}{2}} = \frac{1}{4}[/tex]
[tex]\frac{2sinx}{\sqrt{3}cosx + sinx} = \frac{1}{4}[/tex]
[tex]8sinx = \sqrt{3}x + sinx[/tex]
[tex]7sinx = \sqrt{3}x[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{sinx}{cosx} = tgx = \frac{\sqrt{3}}{7}[/tex]

[Nathi123]

1.зад. Да построим [tex]CC_{1 }|| BD ; AD=BC[/tex] ( по условие ) [tex]\Rightarrow AC = BD = CC_{1 } .[/tex] Построяваме CH[tex]\bot AB \Rightarrow AH=HC_{1 };[/tex]
нека AB = x ; CD = y [tex]\Rightarrow S_{ABCD }=\frac{1}{2}(x+y).h=2h^{2}\Rightarrow x+y=4h; \Delta AHC\Rightarrow AC^{2} = h^{2}+4h^{2}=5h^{2} (AH = \frac{x+y}{2}=2h)[/tex].
Лесно се доказва ,че [tex]S_{ACC_{1 } } = S_{ABCD }[/tex] . От [tex]\Delta ACC_{1 }\Rightarrow AC_{1 }^{2}=2AC^{2}-4S_{ACC_{1 } } cotg\alpha[/tex]
[tex]\alpha = \angle (AC, CC_{1 })=\angle (AC,BD)\Rightarrow 4.2h^{2}cotg\alpha = 10h^{2}-16h^{2}\Rightarrow cotg\alpha = -\frac{3}{4}\Rightarrow tg\alpha = -\frac{4}{3}[/tex] .
Ако AC[tex]\cap BD = M\Rightarrow tg\angle AMB=-\frac{4}{3}\Rightarrow tg\angle BMC=tg(180^\circ-\alpha)=-tg\alpha = \frac{4}{3}[/tex].

[Davids]

5. Зад.:
Означаваме единия ъгъл срещу страната 4см с [tex]\alpha[/tex], другият съответно е [tex]2\alpha[/tex].
Прилагаме синусова теорема:
[tex]\frac{4}{sin\alpha} = \frac{6}{sin2\alpha}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{sin\alpha}{sin2\alpha} = \frac{2}{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{2cos\alpha} = \frac{2}{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow cos\alpha = \frac{3}{4}[/tex]
Използваме косинусова теорема, за да намерим третата страна и според нея вече да определим кой ъгъл е най-малък (този срещу най-малката страна):
[tex]4^2 = 6^2 + c^2 - 2.6.c.\frac{3}{4}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow c^2 - 9c + 20 = 0[/tex]
[tex]c_1 = 5cm[/tex]
[tex]c_2 = 4cm[/tex]
В двата случая най-малък ъгъл е [tex]\alpha[/tex], а неговият тангенс е:
[tex]tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{\sqrt{7}}{3}[/tex]

[Davids]

6. Зад.:
Тук всъщност не мога да предложа решение като учебник, то самото е доста близо до ума. За да имаш лице по най-простата формулка, са ти нужни височина и страната към нея. В случая имаш две височини и един ъгъл, лесно е да се досетиш че от едната височина и ъгъла трябва някак си да извлечеш страната, а това става чрез тригонометрични функции. Остава само да си го напаснеш към случая. При тази задача се вижда лесно:
[tex]S = \frac{a.h_a}{2} = \frac{b.h_b}{2}[/tex]
В случая можеш да изразиш и двете страни по следния начин:
[tex]sin\gamma = \frac{h_a}{b} = \frac{h_b}{a}[/tex]
[tex]\Rightarrow b = \frac{h_a}{sin\gamma}; a = \frac{h_b}{sin\gamma}[/tex]
Сега ги заместваш горе и реално ще ги се получи един и същи отговор.
[tex]S = \frac{h_b.h_a}{2sin\gamma} = \frac{h_b.h_a}{2sin\gamma}[/tex]
А на въпроса с промените не мога да отговоря със сигурност, тъй като още съм на любителско ниво и не мога да ти предоставя достоверен анализ на промените на функциите спрямо растежа/намаляването на стойността на ъгъла. Но за всеки случай едно е ясно: където синусът се увеличава, лицето намалява и vice versa

[Milenaa]

Уникални сте! Много ви благодаря ! Помагате ми страншно много !!!

[KOPMOPAH]

Триъгълник с ъгъл 75.png (7.04 KiB) Прегледано 373 пъти

4. Задача
Означаваме височината $CD$ с $h_c$, $AD$ с $x$, $BD$ с $2h_c-x$
От синусова теорема за $\triangle ADC$ имаме $\frac{h_c}{sin75^\circ}=\frac{x}{sin15^\circ} \Rightarrow x=\frac{sin 15^\circ}{sin 75^\circ}h_c=\frac{cos 75^\circ}{sin 75^\circ}h_c=cotg75^\circ h_c$
Използваме формулата $cotg\varphi=\frac{sin 2\varphi}{1-cos2\varphi }$, откъдето $x=\frac{sin 150^\circ}{1-cos 150^\circ}h_c=$ $... =(2-\sqrt3)h_c$, $BD=2h_c-x=2h_c-(2-\sqrt3)h_c=\sqrt3 h_c$. По теоремата на Питагор за $\triangle BDC$ $BC^2=CD^2+BD^2=(h_c)^2+(\sqrt3 h_c)^2=4(h_c)^2 \Rightarrow BC=2h_c$