В окръжност

[Milenaa]

задача

[Davids]

Решението е от @monika_at, но ще го кача аз

chertej_pravougulen_tr_okrujnost_dopirashta_se_do_opisana_takava.png (63.13 KiB) Прегледано 213 пъти

Като за начало си намираме хипотенузата (питагорова тройка) [tex]c = 10[/tex], откъдето вече си знаем и радиуса на описаната окръжност [tex]R = 5[/tex]
Tъй като втората окръжност се допира до две от страните на [tex]\Delta ABC[/tex], то тя лежи на ъглополовящата на [tex]\beta[/tex]. Построяваме я.
От дадените по условие страни знаем, че:
[tex]sin\beta = \frac{3}{5}[/tex]
[tex]cos\beta = \frac{4}{5}[/tex]
Следователно можем да намерим:
[tex]sin\frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{1-cos\beta}{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}[/tex]
[tex]cos\frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{1+cos\beta}{2}} = \frac{3}{\sqrt{10}}[/tex]
Вече знаем:
[tex]\frac{r}{BO_1} = sin\frac{\beta}{2} = \frac{1}{\sqrt{10}}[/tex]
[tex]\Rightarrow BO_1 = \sqrt{10}.r[/tex]

Построяваме [tex]R[/tex], така че да минава през [tex]O_1[/tex] и използваме, че разстоянието между центровете на две вътрешно допиращи се окръжности е равно на разликата на радиусите им. Т.е.: [tex]OO_1 = 5-r[/tex]

И остана косинусова теорема за [tex]\Delta OBO_1[/tex]:
[tex](5-r)^2 = 5^2 + (\sqrt{10}.r)^2 - 2.5.\sqrt{10}r.cos\frac{\beta}{2}[/tex]
[tex]\cancel{25} - 10r + r^2 = \cancel{25} + 10r^2 - 10\cancel{\sqrt{10}}.r.\frac{3}{\cancel{\sqrt{10}}}[/tex]
[tex]r^2 - 10r = 10r^2 - 30r |:r[/tex]
[tex]r - 10 = 10r - 30[/tex]
[tex]-9r = -20 |:(-9)[/tex]
[tex]r = \frac{20}{9} = 2\frac{2}{9}cm[/tex]