Задачи

[Гост]

Благодаря предварително.

[Гост]

Ето ги обърнати

[Davids]

23.63:

chertej_tangens_otnoshenie.png (22.25 KiB) Прегледано 288 пъти

При моя чертеж търсим [tex]tg\beta = \frac{6x}{n} = ?[/tex]
Виждате кои части съм означил с [tex]m, n[/tex]. По условие имаме, че [tex]AB = c = 26x[/tex], а страната на квадрата съответно е [tex]6x[/tex].
Веднага се вижда, че при текущите означения [tex]m + n = 20x[/tex]
Другото, което ще направя, e мислено да обединя правоъгълните триъгълници [tex]\Delta AKN[/tex] и [tex]\Delta LBM[/tex] в един общ правоъгълен триъгълник, чиято хипотенуза ще е [tex]c_1 = m+n = 20x[/tex], а височината му ще е равна на страната на квадрата: [tex]h_1 = 6x[/tex].
От този мислен правоъгълен триъгълник ще използваме метричната зависимост, че [tex]h^2 = a'.b'[/tex] (в универсалния вид).
В нашия случай получаваме: [tex]36x^2 = m.n[/tex]
И вече имаме система:
[tex]\begin{array}{|l} m + n = 20x \\ mn = 36x^2 \end{array}[/tex]
Ще решаваме относно [tex]n[/tex], въпреки че системата е симетрична.
От първото уравнение:
[tex]m = 20x - n[/tex]
Заместваме във второтo:
[tex]n(20x-n) = 36x^2[/tex]
[tex]n^2 - 20xn + 36x^2 = 0[/tex]
[tex]y = \frac{n}{x}[/tex]
Полагаме, решаваме и достигаме до две решения (на симетричната система):
[tex]y_1 = \frac{n}{x} = 18[/tex]
[tex]y_2 = \frac{n}{x} = 2[/tex]

Но тъй като търсим тангенса на по-големия остър ъгъл, значи ни трябва по-малката част. Тоест в нашия случай съответстващото решение е
[tex]n = 2x[/tex]

И вече за тангенса остава: [tex]tg\beta = \frac{6x}{2x} = 3[/tex]

[KOPMOPAH]

На чертежа $CE=CF=CG=DG=DF=R$, $AD=R\sqrt{2}$ (ясно защо ), $DGCF$ е квадрат със страна $R$, $CD=R\sqrt{2}$, $\measuredangle ADB=90^\circ$, $\triangle ADB$ е правоъгълен равнобедрен, следователно $AB=2R$ и търсеното лице $S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}CE=...$ нататък сам

[Davids]

Тъкмо бях нашарил чертежа да го качвам

Скрит текст: покажи

trapec_okrujnost_dopirashta_se_do_produljeniq_i_diagonal_lice.png (30.67 KiB) Прегледано 272 пъти

23.64:

okrujnost_vpisan_trapec_tangens_ugul_osnova.png (44.55 KiB) Прегледано 272 пъти

Означил съм частите чрез [tex]x[/tex].
Първо знаем, че радиус, перпендикулярен на хорда, я разполовява. Означаваме двете половини с [tex]y[/tex].
После ще построим AN, за да видим от равната дъга, че [tex]\angle NAM = \angle NCB = \angle BAL[/tex]
Следователно [tex]\Delta NAK[/tex] е равнобедрен и [tex]MK = MN = 2x[/tex]
За CK остава 3x.
Означил съм [tex]AM = m; MB = n[/tex]
По свойството на две пресичащи се хорди в окръжност имаме:
[tex]mn = 5x.2x = 10x^2 *[/tex]

След това ще разглеждам едновременно подобните триъгълници [tex]\Delta ABL, \Delta BMC, \Delta KLC[/tex] и ще изразявам равенства от тях.
Лесно се вижда кое откъде е, няма да го казвам изрично. И така имаме
[tex]sin\beta = \frac{y}{3x} = \frac{5x}{2y}[/tex]
[tex]cos\beta = \frac{n}{2y} = \frac{y}{m+n}[/tex]

От равенствата за синуса следва:
[tex]2y^2 = 15x^2[/tex]
Ще го изразим чрез [tex]*[/tex]: [tex]2y^2 = 15x^2 = \frac{3}{2}mn **[/tex]

А от равенствата за косинуса следва:
[tex]2y^2 = n(m+n)[/tex]

Заместваме [tex]2y^2[/tex] от [tex]**[/tex] и получаваме:
[tex]n(m+n) = \frac{3}{2}mn |:n[/tex]
[tex]m+n = \frac{3}{2}m[/tex]
[tex]2m + 2n = 3m[/tex]
[tex]m = 2n[/tex]

Вече знаем, че [tex]m = 2n[/tex]

Реално търсим [tex]tg\beta = \frac{5x}{n} = \frac{m}{2x}[/tex]
Можем да заместим:
[tex]\frac{5x}{n} = \frac{2n}{2x}[/tex]
[tex]n^2 = 5x^2[/tex]
[tex]n = \sqrt{5}.x[/tex]

И тангенсът ни е равен на [tex]tg\beta = \frac{5x}{n} = \frac{5x}{\sqrt{5}.x} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}[/tex]