Неравенства

[itzko_690554]

Начертайте графиката на функцията [tex]f(x)= -x^{2}+5x-4[/tex] и като използвате графиката решете неравенството [tex]f(x)\ge0[/tex]

Начертайте графиката на функцията [tex]f(x)= x^{2}+5x+4[/tex] и като използвате графиката решете неравенството [tex]f(x)\le0[/tex]

Решете неравенствата
[tex]\frac{x-1}{x-2}<2[/tex]

[tex]\frac{1}{x^{2}-1}>1[/tex]

С метода на интервалите решете неравенствата
[tex]\frac{(x-2)(2x-3)^{2}(x+1)}{(x+2)(x-1)(x^{2}+1)}\ge0[/tex]

[tex]\frac{(x-1)(2x-3)^{2}(x+2)}{x(x-2)(x^{2}+1)}\ge0[/tex]

[tex]x^{4}-13x^{3}+36>0[/tex]

[tex]x^{4}-5x^{2}+4\le0[/tex]

[Davids]

За двете функции - намираш корените по стандартния начин и това ще са пресечните точки на параболата с абсцисната ос. Върхът на параболата е точка с координати [tex]x_0 = -\frac{b}{2a}[/tex] и [tex]y_0 = f(x_0)[/tex]. След това само трябва да определиш наклона: ако знакът пред втората степен е положителен, функцията ти клони към [tex]+\infty[/tex], т.е. има такава форма ([tex]\cup[/tex]), а ако е отрицателен - такава [tex]\cap[/tex]. За сверяване на построените от теб графики и верните ползвай този сайт. За стойностите мисля, че ще ги оправиш нагледно.

За неравенствата:
1.: [tex]\frac{x-1}{x-2} < 2[/tex]
[tex]\frac{x-1}{x-2} - 2 < 0[/tex]
Превеждаме под общ знаменател:
[tex]\frac{x-1 - 2(x-2)}{x-2} < 0[/tex]
[tex]\frac{3-x}{x-2} < 0[/tex]
Решаваме по познатия алгоритъм:
[tex]\begin{array}{|l} x \ne 2 \\ (3-x)(x-2) < 0 \end{array}[/tex]
Подреждаме корените на числовата ос, но тъй като знакът пред втората степен е отрицателен, то най-отдясно слагаме минус и получаваме, че [tex]x\in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)[/tex]

2.: [tex]\frac{1}{x^2 - 1} < 1[/tex]
[tex]\frac{1}{x^2 - 1} - 1< 0[/tex]
[tex]\frac{1}{x^2 - 1} - \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1}< 0[/tex]
[tex]\frac{2 - x^2}{x^2 - 1} < 0[/tex]
По познатата схема:
[tex]\begin{array}{|l} x\ne \pm 1 \\ (2-x^2)(x^2-1) < 0 \end{array}[/tex]
Развиваме формулите за съкратено умножение:
[tex](\sqrt{2} + x)(\sqrt{2} - x)(x+1)(x-1) < 0[/tex]
Метод на интервалите с минус най-отдясно и получаваме [tex]x\in(-\infty; -\sqrt{2})\cup (-1; 1)\cup (\sqrt{2}; +\infty)[/tex]

[Davids]

За последните четири:
1.: Разглеждаме знаменателя за допустими стойности. Третият множител е строго положителен за всяко хикс, така че не оказва влияние на неравенството и можем да го игнорираме. От другите два множителя имаме [tex]x\ne 1; -2[/tex]
Правим произведението от числител и множител:
[tex](x-2)(2x-3)^2(x+1)(x+2)(x-1) \ge 0[/tex]
За втората степен взимаме само нулата [tex]x = \frac{3}{2}[/tex] и можем да я игнорираме с уговорката, че тази стойност на хикс е решение.
Останалите нули са [tex]x = -2; -1; 1; 2[/tex]. Подреждаме ги на числовата ос с плюс най-отдясно, тъй като всички хиксове в множителите са с положителен знак. Виждаме лесно, че [tex]x\in [-2; -1]\cup [1;2][/tex].
Сега обаче изключваме 1 и -1, тъй като са извън допустимите стойности и добавяме едната нула от числителя за [tex]x = \frac{3}{2}[/tex].
И окончателното решение е [tex]x\in [-2; -1)\cup (1; 2] \cup {\frac{3}{2}}[/tex]

Абсолютно аналогичен е подхода за второто неравенство.

3.: Полагаме [tex]t = x^2 \ge 0[/tex].
Решаваме: [tex]t^2 - 13t + 36 > 0[/tex]
Нулите на тричлена са [tex]t_1 = 4; t_2 = 9[/tex].
Следователно можем да разложим тричлена така:
[tex](t - 4)(t-9) < 0[/tex]
Заместваме с [tex]x^2 = t[/tex]:
[tex](x^2 - 4)(x^2 - 9) < 0[/tex]
[tex](x+2)(x-2)(x+3)(x-3) < 0[/tex]
Подреждаме корените с плюс отдясно и виждаме, че: [tex]x\in (-3; -2)\cup (2; 3)[/tex]

Аналогично и за другото неравенство.