Домашно по математика

[pesho00]

Имам задачи по математика, които трябва да предам до 1 декември, а отсъствах като взехме дадения материал и не мога да се ориентирам как се решават. Ако някой може да ми помогне, ще съм благодарен.

14938314_1206022936111481_9216105338811057832_n.jpg (106.3 KiB) Прегледано 467 пъти

[mail_dinko]

За първото уравнение според мен трябва просто да замести неизвестното х с даденото число решение. После си решаваш уравнението относно К. Иначе аз също не съм много вещ. Това е тема разположение на корените на квадратното уравнение върху числовата ос. Потърси в гугъл "квадратни уравнения и неравенства" - има един пдф файл с обяснения на учебен център Солема. Ако не пречи, ще кача линк.

[Davids]

1. Най-лесно: заместваш [tex]x=1[/tex] и получаваш стойността/ите, за които този хикс е решение на уравнението. В случая [tex]k[/tex] се среща само от първа степен, значи ще имаме една стойност. И тя е:
[tex]k.1 - 2.1 - 4k - 1 = 0[/tex]
[tex]-3k - 3 = 0[/tex]
[tex]k = -1[/tex]
Другите ти варианти за решение са чрез Виет или чрез чисто и просто изразяване на корените и приравняване и на двата с едно (но при повдигането на втора степен се достига до едно и също уравнение за [tex]k[/tex]).

2. Първо искаме да има корени. Следователно [tex]D \ge 0[/tex]. Отделно искаме те да са по-големи от -3. Това ще рече, че [tex]a.f(-3) > 0[/tex] (тоест точката със стойност -3 не се намира между двата корена) и [tex]x_0 > -3[/tex], за да гарантираме че и двата корена ще са по-големи, а не по-малки от -3.
Решаваме системата:
[tex]\begin{array}{|l} 36(k+1)^2 - 4.k.8(k+1) \ge 0 \\ k[9k +6(k+1).(-3) + 8(k+1)] > 0 \\ -\frac{6(k+1)}{2k} > -3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} k^2 + 10k + 9 \ge 0 \\ k(k+10) > 0 \\ \frac{1}{k} < 0 \end{array}[/tex]
Решения са съответно: [tex]k \in (-\infty; -9]\cup[-1; +\infty)[/tex]; [tex]k\in (-\infty; -10)\cup (0; +\infty)[/tex]; [tex]k\in (-\infty; 0)[/tex]
Като ги пресечем, получаваме: [tex]k\in (-\infty; -10)[/tex]

3. Тук сме на същия принцип като горе, само че параметрите са други.
Системата е следната:
[tex]\begin{array}{|l} D = 4(k-1)^2 - 4k(7k-3) \ge 0 \\ a.f(2) = k[4k - 2(k-1).2 + 7k - 3] > 0 \\ x_0 = -\frac{-2(k-1)}{2k} > 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 6k^2 - k - 1 \le 0 \\ \frac{1}{k} > 0 \\ k(7k+1) > 0 \end{array}[/tex]
Трите решения: [tex]\begin{array}{|l} k\in [-\frac{1}{3}; \frac{1}{2}] \\ k\in (0; +\infty) \\ k\in (-\infty; -\frac{1}{7})\cup (0; +\infty) \end{array}[/tex]
Пресичайки ги получаваме решението на задачата: [tex]k\in (0; \frac{1}{2}][/tex]

4. За да има корени, действаме пак с неотрицателна дискриминанта. Отделно ще трябва [tex]-2 < x_0 < 2[/tex] и също [tex]x=\pm 2[/tex] да дава положителни стойности на функцията. А [tex]x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{3k-2}{2(k-3)}[/tex].
Правим система:
а)[tex]D = (3k-2)^2 - 4(k-3)(3k+1) = -3k^2 + 2k + 16 \ge 0[/tex]
Решенията получавам: [tex]k \in [\frac{10-2\sqrt{37}}{3}; \frac{10+2\sqrt{37}}{3}][/tex]
б) Първо [tex]x_0 = \frac{3k-2}{2(k-3)} > -2[/tex]
Решения: [tex]k\in (-\infty; 2)\cup (3; +\infty)[/tex]
в) Второ [tex]x_0 = \frac{3k-2}{2(k-3)} < 2[/tex]
Решения: [tex]k\in (-\infty; 3)\cup (10; +\infty)[/tex]
г) [tex]a.f(-2) = (k-3)[4(k-3) + 2(3k-2) + 3k + 1] = (k-3)(13k-15) > 0[/tex]
[tex]k\in (-\infty; \frac{15}{13})\cup (3; +\infty)[/tex]
д) [tex]a.f(2) = (k-3)[4(k-3) - 2(3k-2) + 3k + 1] = (k-3)(k-7) > 0[/tex]
[tex]k\in (-\infty; 3)\cup (7; +\infty)[/tex]

Сечем и получаваме [tex]k\in [\frac{10-2\sqrt{37}}{3}; \frac{15}{13})[/tex]

5. Почваме отново с дискриминантата, искаме 2 корена. Следователно:
[tex]D = 4(3k-4)^2 - 4(k-1).5(k-3) = (2k-1)^2 > 0[/tex] за [tex]\forall x\ne \frac{1}{2}[/tex]
Разглеждаме исканото. За да е 6 между двата корена, то:
[tex]af(6) < 0 \Leftrightarrow (k-1)[36(k-1) - 12(3k-4) + 5(k-3)] = ... = (k-1)(5k-3) < 0[/tex]
И получаваме от първото условие [tex]k\in (\frac{3}{5}; 1)[/tex]
След това искаме втория корен задължително да е между 6 и 8, тоест да не надхвърля 8.
Оттам: [tex]a.f(8) > 0 \Leftrightarrow (k-1)[64(k-1) - 16(3k-4) + 5(k-3)] = ... = (k-1)(21k-15) > 0[/tex]
Откъдето [tex]k\in (-\infty; 1)\cup (\frac{15}{21}; +\infty)[/tex]
И понеже [tex]\frac{15}{21} > \frac{3}{5} > \frac{1}{2}[/tex], сечем и получаваме [tex]k\in (\frac{15}{21}; 1)[/tex]

6. Тук дискриминантата е строго положителна за всяка стойност на параметъра (и сам можеш да провериш). Следователно разглеждаме само случаите. -1 трябва да е между двата корена, следователно:
[tex]a.f(-1) < 0 \Leftrightarrow k[k + 2(k+4) - k + 16] = ... = 2k(k+12) < 0[/tex]
Решения са [tex]k\in (-12; 0)[/tex]
Искаме първият корен да не е под -3, следователно:
[tex]af(-3) > 0 \Leftrightarrow k[9k + 6(k+4) - k + 16] = ... = 2k(7k+20) > 0[/tex]
Решения са [tex]k\in (-\infty; -\frac{20}{7})\cup (0; +\infty)[/tex]

Сечем и получаваме [tex]k\in (-12; -\frac{20}{7})[/tex]

--

Ако има нещо неясно по решенията, питай. Ще се радвам да дообясня. Решавал съм ги набързо и е напълно възможно да има изчислителни грешки, така че си мини пак по решенията - моите отговори са за сравнение.

[Nathi123]

1.зад. Числото 1 е между корените на уравнението [tex]ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow af(1)<0[/tex], където [tex]f(x) =ax^{2}+bx+c[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex]1 e между корените на уравнението:
[tex]kx^{2}-2x-4k-1=0\Leftrightarrow kf(1) <0 ; f(x) =kx^{2}-2x-4k-1\Rightarrow k(-3k-3)<0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -3k(k+1)<0\Leftrightarrow k(k+1)>0\Leftrightarrow k\epsilon (-\infty,-1)\cup (0,+\infty).[/tex]
Числото 1 да е между корените на уравнението [tex]kx^{2}-2x-4k-1=0[/tex] означава ,че ако корените му са [tex]x_{1 }<x_{2 }[/tex] , то
[tex]x_{1 }<1 < x_{2 }[/tex]. При k = -1 се получава уравнението [tex]- x^{2} - 2x +3 =0 \Leftrightarrow x^{2} + 2x -3 =0[/tex] и неговите корени са -3 и 1 ! Т.е . числото 1 не е между корените му ( не да е негов корен ,а уравнението да има 2 различни корени единият от които да е по-малък от 1 ,а другият да е по - голям от 1 ! )

[Davids]

1.зад. Числото 1 е между корените на уравнението [tex]ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow af(1)<0[/tex], където [tex]f(x) =ax^{2}+bx+c[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex]1 e между корените на уравнението:
[tex]kx^{2}-2x-4k-1=0\Leftrightarrow kf(1) <0 ; f(x) =kx^{2}-2x-4k-1\Rightarrow k(-3k-3)<0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -3k(k+1)<0\Leftrightarrow k(k+1)>0\Leftrightarrow k\epsilon (-\infty,-1)\cup (0,+\infty).[/tex]
Числото 1 да е между корените на уравнението [tex]kx^{2}-2x-4k-1=0[/tex] означава ,че ако корените му са [tex]x_{1 }<x_{2 }[/tex] , то
[tex]x_{1 }<1 < x_{2 }[/tex]. При k = -1 се получава уравнението [tex]- x^{2} - 2x +3 =0 \Leftrightarrow x^{2} + 2x -3 =0[/tex] и неговите корени са -3 и 1 ! Т.е . числото 1 не е между корените му ( не да е негов корен ,а уравнението да има 2 различни корени единият от които да е по-малък от 1 ,а другият да е по - голям от 1 ! )

А такааа, а аз как се заблудих, че „между“ в случая е синоним на „сред“, т.е. един от корените е 1... И като го схванах така, кой да мисли после

[Nathi123]

зад. 5 . Уравнението е [tex](k-1)x^{2} - 2(3k-4)x +5( k-3)=0[/tex] То трябва да е квадратно,за да има 2 разл. корена.
[tex]\Rightarrow k\ne 1 ; D= (2k -1 )^{2}\Rightarrow при k \ne \frac{1}{2} x_{1 } = 5 \cup x_{2 } = \frac{k - 3 }{ k - 1 }[/tex] и тези корени са различни.
[tex]x_{1 } = 5 < 6 \Rightarrow 6 < \frac{k - 3 }{ k - 1 } < 8 \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \frac{k-3}{k-1} -6>0\\ \frac{k-3}{k-1} -8<0 \\ k\ne1,\frac{1}{2}\end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l} (-5k+3)(k-1) > 0 \\ (-7k + 5)( k - 1 ) <0 \\ k\ne1,\frac{1}{2} \end{array}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} k\in ( \frac{3}{5} ,1)\\ k\in (-\infty, \frac{5}{7}) \cup(1,+\infty)\end{array}\Leftrightarrow k\in (\frac{3}{5},\frac{5}{7})[/tex].

[Davids]

Ох, и тези съм ги разменил горе и глупости съм писал... Иначе така, да.

[pesho00]

Благодаря на всички за отговорите! Като се прибера от училище днес ще ги разгледам.