Геометрични задачи

[Гост]

1. Даден е триъгълник ABC, AC = 5 cm, BC = 6 cm, ъгъл ACB = 120 градуса. Дължината на височината CH = ?
а/ (3√21)/7 ; б) 3 ; в)(9√3)/2 ; г) 2
2. Даден е равнобедрен трапец с бедро 36 см, голяма основа 60 см и остър ъгъл 60 градуса. Да се намери малката основа на трапеца.
а) 19 см б) 25 см в) 24 см г) 10 см
3. В равнобедрен триъгълник височината към бедрото го разделя на части с дължини 2 см и 3 см, считано от върха при основата. Да се намери основата на триъгълника.
а) 3 см б) √5 см в) 2√5 см г) 5 см
4. В триъгълник дължините на две от страните са съответно 6 см и 10 см, а радиусът на описаната около триъгълника окръжност е с дължина 5 см. Този триъгълник е:
а) равнобедрен б) тъпоъгълен в) остроъгълен г) правоъгълен

[Davids]

1. С това дадено на първа задача, получавам съвсем различни отговори.
Първо ще направим косинусова теорема, за да намерим третата страна:
[tex]c^2 = 5^2 + 6^2 - 2.5.6.cos120 = 25 + 36 - 2.5.6.(-\frac{1}{2}) = 61 + 30 = 91[/tex]
$\Rightarrow c = \sqrt{91} = \sqrt{13.7}$
Според синусовата теорема:
$\frac{c}{sin120} = \frac{6}{sin\alpha} \Leftrightarrow \frac{\sqrt{91}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{sin\alpha}$
$\Rightarrow sin\alpha = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{91}}$
Но [tex]sin\alpha = \frac{h}{5} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{91}}[/tex]
$\Rightarrow h = \frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{91}} = \frac{15\sqrt{3.7.13}}{91} = \frac{15\sqrt{273}}{91}$

2. Пускаме височините $DH$ и $CM$, получаваме два еднакви триъгълника $\Delta AHD$ $\Delta BMC$ с ъгъл 30 градуса срещу респективно AH и MB. Следователно двете отсечки са равни на половината от бедрото. Т.е. $AH = MB = 36/2 = 18$. Отделно имаме $HM = DC = AB - (AH + MB) = 60 - 2.18 = 24cm$

3. Ако височината разделя бедрото на части 2 и 3 см, то цялото бедро е 5 см. Ако височината е $AH$, то $CH = 3$, $AH = 5$ и триъгълник $\Delta AHC$ е правоъгълен. Получаваме питагорова тройка 3,4,5, откъдето $AH = 4$. Но $HB = 2$, следователно основата намираме по питагорова теорема: $a^2 = 2^2 + 4^2 = 20 \Rightarrow a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}cm$

4. Ползваме синусова теорема (като не забравяме, че отношението на страна и синус на ъгъла срещу нея е равно на два пъти радиуса на описаната окръжност). Оттам:
$\frac{6}{sin\alpha} = \frac{10}{sin\beta} = 2.5 = 10$
$\Rightarrow sin\beta = \frac{10}{10} = 1$
Като в триъгълник ъгъл със синус 1 е само правият. Следователно триъгълникът е правоъгълен.

[Гост]

Нещо не мога да вляза
За първа задача - по косинусова теорема намираме $c$, после изразяваме лицето по два начина $S=\frac{a.b.sin120^\circ}{2}=\frac{c.h_c}{2}$, решаваме спрямо $h_c$.
За втора задача - успоредно пренасяме едното бедро и се получава равностранен триъгълник със страна $36$, а на голямата основа има $36$ от равностранния триъгълник и търсената малка основа $24$.

[Davids]

Нещо не мога да вляза
За първа задача - по косинусова теорема намираме $c$, после изразяваме лицето по два начина $S=\frac{a.b.sin120^\circ}{2}=\frac{c.h_c}{2}$, решаваме спрямо $h_c$.
За втора задача - успоредно пренасяме едното бедро и се получава равностранен триъгълник със страна $36$, а на голямата основа има $36$ от равностранния триъгълник и търсената малка основа $24$.

И това е вариант, зависи как ще се подходи. В случая тези предложения са по-достъпни