Общи задачи

[Гост]

Здравейте! Имам нужда от помощ за няколко задачи. Благодаря предварително!

[Davids]

1. $\frac{x}{2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{\sqrt{3} - \sqrt{7}})^2} = \begin{array}{||} \frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{\sqrt{3} - \sqrt{7}} \end{array} = \begin{array}{||} \frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{\sqrt{3} - \sqrt{7}}.\frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{\sqrt{3} + \sqrt{7}} \end{array} = \begin{array}{||} \frac{3 + 2\sqrt{21} + 7}{3 - 7} \end{array} = \begin{array}{||} \frac{10 + 2\sqrt{21}}{-4} \end{array} = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}$
$\Rightarrow x = 5 + \sqrt{21}$

4. $125^{x^2 - \frac{1}{3}} < 25$
$5^{3(x^2 - \frac{1}{3})} < 5^2$
$5^{3x^2 - 1} < 5^2$
$3x^2 - 1 < 2$
$3x^2 < 3$
$x^2 < 1$
$x\in (-1; 1)$

5. $log_24 - log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{9} + log_31 = 2 - 2 + 0 = 0$
Тъй като трябва да повдигнем $2$ на степен $2$, за да стане $4$; $\frac{1}{3}$ на степен $2$, за да стане $\frac{1}{9}$ и $3$ на степен $0$, за да стане $1$.

6. $f(x) = \sqrt{-x^2 + 2x + 8}$
Приемаме, че $g(x) = -x^2 + 2x + 8$, при което $f(x) = \sqrt{g(x)}$
Искаме да вземем най-голямата стойност на $g(x)$, за която $g(x) \ge 0$
Следователно:
$g(x) \ge 0$
$-x^2 + 2x + 8 \ge 0$
$x^2 - 2x - 8 \ge 0$
$x_1 = -2; x_2 = 4$
$\Rightarrow x\in (-2; 4)$
Корени има всъщност, това ни интересува. Можехме да спрем и до положителната дискриминанта и вече да търсим върха, тъй като той ще дава положителна стойност на функцията при положителна дискриминанта.
$x_0 = -\frac{-2}{2} = 1$
$y_0 = g(x_0) = g(1) = 9$
$\Rightarrow f(x)_{max} = \sqrt{g(x)_{max}} = \sqrt{9} = 3$