Докажете тъждествата

[Красимира]

Трябвят ми за​ утре... Много ще се радвам някой да помогне

[Davids]

Предполагам, че ъглите са в триъгълник.
Първа:
$cotg\alpha.cotg\beta + cotg\beta.cotg\gamma + cotg\gamma.cotg\alpha =$
$\frac{cotg\alpha}{tg\beta} + \frac{cotg\beta}{tg\gamma} + \frac{cotg\gamma}{tg\alpha} = $
$\frac{cotg\alpha.tg\gamma.tg\alpha + cotg\beta.tg\beta.tg\alpha + cotg\gamma.tg\beta.tg\gamma}{tg\alpha.tg\beta.tg\gamma} = $
$\frac{tg\alpha + tg\beta + tg\gamma}{tg\alpha.tg\beta.tg\gamma}$
Сега ползваме, че $\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta)$, т.е. $tg\gamma = tg(180-(\alpha + \beta)) = -tg(\alpha+\beta) = -\frac{tg\alpha + tg\beta}{1-tg\alpha.tg\beta}$
Заместваме:
$\frac{tg\alpha + tg\beta - \frac{tg\alpha + tg\beta}{1-tg\alpha.tg\beta}}{\frac{-tg\alpha.tg\beta(tg\alpha+tg\beta)}{1-tg\alpha.tg\beta}}$
Привеждаме под общ знаменател в числителя и го съкращаваме, достигайки до:
$\frac{(tg\alpha + tg\beta)(1-tg\alpha.tg\beta) - tg\alpha - tg\beta}{-tg\alpha.tg\beta(tg\alpha+tg\beta)} = \frac{tg\alpha + tg\beta -tg\alpha.tg\beta(tg\alpha + tg\beta) - tg\alpha - tg\beta}{-tg\alpha.tg\beta(tg\alpha + tg\beta)} = \frac{-tg\alpha.tg\beta(tg\alpha + tg\beta)}{-tg\alpha.tg\beta(tg\alpha + tg\beta)} = 1$

[Davids]

Втора, където имаме да докажем, че (ще означавам ъглите с $a,b,c$, че много трудоемко иначе с тия форумни означения ):

$cos^2a + cos^2b + cos^2c = 1 - 2cosa.cosb.cosc$
Започваме с леко стилистично улеснение от лявата страна:
$cos^2a + cos^2b + \cancel{1} - sin^2c = \cancel{1} - 2cosa.cosb.cosc$
Имаме вече да докажем:
$cos^2a + cos^2b - sin^2c = -2cosa.cosb.cosc$
Ползваме вече, че:
$sinc = sin(180-(a+b)) = sin(a+b)$
$cosc = cos(180-(a+b)) = -cos(a+b)$
Започваме да работим само с лявата страна. Засега ще използваме първото от горните тъждества, а накрая - второто. Започваме да разтягаме:
$u = cos^2a + cos^2b - sin^2(a+b)$
Сега ще вземем израза накрая, за да го разтеглим както му приляга:
$-sin^2(a+b) = -(sina.cosb + sinb.cosa)^2 = -(sin^2a.cos^2b + 2sina.sinb.cosa.cosb + sin^2b.cos^2a) = -[(1-cos^2a).cos^2b + 2sina.sinb.cosa.cosb + (1-cos^2b).cos^2a] = - (cos^2b + cos^2a - 2cos^2a.cos^2b + 2sina.sinb.cosa.cosb) = -[cos^2b + cos^2a - 2cosa.cosb(cosa.cosb - sina.sinb)]$
Връщаме се при лявата страна $u$:
$u = cos^2a + cos^2b -[cos^2b + cos^2a - 2cosa.cosb(cosa.cosb - sina.sinb)] =$
$= \cancel{cos^2a} + \cancel{cos^2b} - \cancel{cos^2b} - \cancel{cos^2a} + 2cosa.cosb(cosa.cosb - sina.sinb)$

$u = 2cosa.cosb(cosa.cosb - sina.sinb) = 2cosa.cosbcos(a+b) = -2cosa.cosb.cos(180-(a+b)) = -2cosa.cosb.cosc$
С което доказваме търсеното тъждество. Може да се подходи и реципрочно, разбира се. А може и да се работи с двете страни едновременно (най-лесният вариант, помагащ на решаването).

[Красимира]

Много благодаря!! Направо ми спасявате живота