Лице на триъгълник с вписана окръжност

[Гост]

В триъгълник е вписана окръжност с радиус 4. Една от страните на триъгълника се разделя от вписана окръжност на отсечки с дължини 6 и 8. Намерете лицето на триъгълника.

[Добромир Глухаров]

Лице.png (23.97 KiB) Прегледано 1175 пъти

$S=pr=(8+6+x).4$

$tg{\frac{\alpha}{2}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

$tg{\frac{\beta}{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

$tg{\frac{\gamma}{2}}=\frac{4}{x}$

$tg{\frac{\gamma}{2}}=tg{\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}}=ctg{\frac{\alpha+\beta}{2}}=\frac{4}{x}$

$x=4tg{\frac{\alpha+\beta}{2}}=4\cdot\frac{tg{\frac{\alpha}{2}}+tg{\frac{\beta}{2}}}{1-tg{\frac{\alpha}{2}}tg{\frac{\beta}{2}}}=\\=4\cdot\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}}=4\cdot\frac{\frac{7}{6}}{\frac{2}{3}}=7$

$S=(14+7).4=84$

[Гост]

Лице.png

$S=pr=(8+6+x).4$

$tg{\frac{\alpha}{2}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

$tg{\frac{\beta}{2}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

$tg{\frac{\gamma}{2}}=\frac{4}{x}$

$tg{\frac{\gamma}{2}}=tg{\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}}=ctg{\frac{\alpha+\beta}{2}}=\frac{4}{x}$

$x=4tg{\frac{\alpha+\beta}{2}}=4\cdot\frac{tg{\frac{\alpha}{2}}+tg{\frac{\beta}{2}}}{1-tg{\frac{\alpha}{2}}tg{\frac{\beta}{2}}}=\\=4\cdot\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}}=4\cdot\frac{\frac{7}{6}}{\frac{2}{3}}=7$

$S=(14+7).4=84$

Благодаря за решението, но може ли да изясниш частта със $tg{\frac{\gamma}{2}}=tg{\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}}=ctg{\frac{\alpha+\beta}{2}}=\frac{4}{x}$ ?

[Добромир Глухаров]

За всеки триъгълник $\alpha+\beta+\gamma=\pi\Rightarrow \gamma=\pi-\alpha-\beta$ ($\pi$ радиана са $180$ градуса).

$\Rightarrow tg{\frac{\gamma}{2}}=tg{\frac{\pi-\alpha-\beta}{2}}=tg{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=\\=\frac{sin{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}}{cos{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}}=\frac{cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}}{sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}}=ctg{\frac{\alpha+\beta}{2}}$

[inveidar]

Полупериметърът [tex]p=\frac{8+8+6+6+x+x}{2}=14+x[/tex]. Изразявате лицето по два начина:
[tex]\sqrt{(14+x)(14+x-6-x)(14+x-8-x)(14+x-14)}=(14+x).4 \Leftrightarrow \sqrt{6.8.x.(14+x)}=4(14+x)[/tex].
Вдигате на квадрат и веднага получавате [tex]x=7[/tex].
Тогава лицето е 21.4=48.