Лице на триъгълник

[Гост]

В триъгълника ABC медианата AD и ъглополовящата BE са перпендикулярни и се пресичат в точката F. Намерете лицето на ABC, ако лицето на DEF e 5.

[Davids]

Имаме $\angle ABF = \angle DBF$ като ъгли в правоъгълни триъгълници, следователно $\Delta ABF \cong \Delta DBF$ и $AB = BD = 1/2BC$.
Ползваме свойство на ъглополовящата всяка точка от нея да е на равни разстояния от лъчите на ъгъла, от което имаме, че височините от Е към АВ и от Е към ВС са равни. И понеже $AB = 1/2BC$, то $S_{ABE} = 1/2S_{BCE} = 1/3S$
(С $S$ означаваме цялото лице).
От друга страна имаме заради медианата АД $S_{ABD} = 1/2S$, а от горната еднаквост - $S_{BDF} = S_{BAF} = 1/4S$. Също заради медианата ЕД обаче имаме и $S_{EBD} = S_{EDC} = S_{FDB} + S_{EFD} = 1/4S + 5$
Сборувайки всички изразени лица в едно цяло, получаваме:
$S = 1/3S + 1/2S + 5 +5$
$S = 60$

[TheCharmedOne]

Супер, благодаря!