Правоъгълен триъгълник

[Гост]

1. Разстоянията от центъра на окръжността, вписана в правоъгълен триъгълник, до върховете на неговите остри ъгли са равни на [tex]\sqrt{5}[/tex] и [tex]\sqrt{10}[/tex] . Дължината на хипотенузата на тръгълника е равна на:

2. Даден е правоъгълен триъгълник АВС, ъгъл С=90. Дължината на кътета ВС е [tex]\sqrt{6}[/tex] , а проекцията на другия катет върху хипотенузата е 1см. Височините на триъгълника имат дължини:

[Davids]

1. Центърът на вписаната окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите, което от своя страна означава, че $\angle AOB = 90 + \gamma = 135^{\circ}$. Сега остава една косинусова теорема за хипотенузата от триъгълника АОВ.
$c^2 = 5 + 10 - 2.\sqrt{5}.\sqrt{10}.cos135 = 15 + 2.\sqrt{5}.\sqrt{10}.\frac{\sqrt{2}}{2} = 25 \Rightarrow c = 5$

2. Ползваме метричната зависимост, че $a^2 = a_1.c$. Получаваме: $6 = a_1^2 + a_1 \Rightarrow a_1 = 2$
Тогава $c=3$ и по питагорова теорема $b = \sqrt{3}$. Височината към хипотенузата намираме от $ab=ch \Rightarrow h = \frac{ab}{c} = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$. А другите височини съвпадат с катетите.