Задача

[velislav888]

АВCD е успоредник, в който АВ=7см, AD=5см и BD=6см. Намерете синуса на ъгъла между диагоналите на успоредника.

[Nathi123]

Ако [tex]\angle (AC,BD )= \varphi \Rightarrow S_{ABCD } = \frac{1}{2}AC.BDsin\varphi ; S_{ABCD } = 2S_{\Delta ABD}[/tex].
По Херонова формула за триъг. ABD [tex]\Rightarrow S_{\Delta ABD} = \sqrt{9.4.2.3}=6\sqrt{6} ( p=9) ; \Rightarrow S_{ABCD } = 12\sqrt{6}[/tex].
[tex]\Delta ABD[/tex] кос. т-ма [tex]\Rightarrow cos\angle DAB=\frac{25+49-36}{2.5.7}=\frac{19}{35} \Rightarrow cos\angle ABC = -\frac{19}{35}[/tex]
(cos( 180 - [tex]\alpha) = - cos \alpha[/tex]) .От кос. т-ма за [tex]\Delta ABC\Rightarrow AC^{2} = 49+25+\frac{2.19.7.5}{35}=112\Rightarrow AC=4\sqrt{7}[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{ABCD } = 12\sqrt{6} = \frac{4\sqrt{7}.6.sin\varphi}{2}\Rightarrow sin\varphi =\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{42}}{7}[/tex].