АД=?

[Гост]

4<к е вписан във окръжност.AB=BC=5 CM,<DAB=120
AD=?

[Гост]

АД=5

[Knowledge Greedy]

[tex]AD=8\frac{3}{4}[/tex],
- предимно синусова теорема.

[Гост]

Определено АД = 5 удовлетворява условието - половината на правилен вписан 6-тоъгълник е вписан 4-риъгълник със срещуположни ъгли 120 и 60 градуса и 3 еднакви страни - в случая 5 .

[Knowledge Greedy]

Сменил съм местата на [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex]

Вписаният с търсената AD.png (4.18 KiB) Прегледано 270 пъти

и тъй като да поправя чертежа ми е по-трудно, ще търся [tex]CD[/tex].
С косинусова теорема за триъгълниците [tex]\Delta ABD[/tex] и [tex]\Delta BCD[/tex] изразяваме
[tex]\begin{array}{|l} BD^2=x^2 + 5^2 -2.x.5cos120^\circ \\ BD^2=y ^2 + 5^2 -2.y.5cos120^\circ \end{array}[/tex]

Тук сме означили [tex]AD=y[/tex], точка [tex]N[/tex] - върху [tex]AD[/tex] и такава, че [tex]CD=DN=x[/tex]
След изравняване на двете представяния на [tex]BD^2[/tex] получаваме, че [tex]y=x+5[/tex]

Означаваме [tex]\angle DCN=\gamma = \angle DNC[/tex]
Оттук [tex]\angle ADC=180-2\gamma[/tex] и [tex]\angle ABC=2\gamma[/tex]
Следователно [tex]\angle CBN=2\gamma - 60^\circ[/tex] и [tex]\angle CBD=\gamma - 30^\circ[/tex]

По синусова теорема,

Една от страните.png (3.81 KiB) Прегледано 270 пъти

(за всички хорди в описаната около ABCD окръжност), се получава
[tex]\frac{CD}{sin(\gamma - 30^\circ)}=\frac{BC}{sin(90^\circ-\gamma)}=\frac{AD}{sin(\gamma+30^\circ)}[/tex]
равносилно на
[tex]\frac{x}{sin(\gamma - 30^\circ)}=\frac{5}{sin(90^\circ-\gamma)}=\frac{5+x}{sin(\gamma+30^\circ)}[/tex]
Оттук
[tex]\begin{array}{|l} sin\gamma = \frac{1}{\sqrt{13}} \\ cos\gamma= -\sqrt{\frac{12}{13}} \end{array}[/tex]
След заместване по-горе
[tex]x=5[/tex]
Това означава, че [tex]AD=5+5=10[/tex]
и [tex]CD=5[/tex]

[Гост]

Има и една друга възможност да се реши - като се построи ъглополовящата на ъгъла от 120 (т.А) до пресичането и с окръжността и после тази точка се свърже с Д,Ц и Б. Получават се едни еднакви триъгълници.... Синусовата теорема в 10-ти клас ли се учеше?

[Гост]

Сериозен въпрос.

Има и една друга възможност да се реши - като се построи ъглополовящата на ъгъла от 120 (т.А) до пресичането и с окръжността и после тази точка се свърже с Д,Ц и Б. Получават се едни еднакви триъгълници.... Синусовата теорема в 10-ти клас ли се учеше?

4<к е вписан във окръжност.AB=BC=5 CM,<DAB=120
AD=?

Как да се досетя, че задачата по-горе, е за VIII - ми клас?

[Гост]

Няма как да се досетиш - прочети заглавието


Начало ‹ Форум ‹ Домашни по математика 1 - 12 клас - без регистрация ‹ 10 клас

[Гост]

Значи без синусова теорема?

[Гост]

Аз мисл, че има и много по- лесен начин. Намираме ъгъл ABC, който е 60[tex]^\circ[/tex], след това прилагаме синусова теорема и се получава

[Гост]

И това намиране как го правим?

[Гост]

Сменил съм местата на [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex]

Вписаният с търсената AD.png

и тъй като да поправя чертежа ми е по-трудно, ще търся [tex]CD[/tex].
С косинусова теорема за триъгълниците [tex]\Delta ABD[/tex] и [tex]\Delta BCD[/tex] изразяваме
[tex]\begin{array}{|l} BD^2=x^2 + 5^2 -2.x.5cos120^\circ \\ BD^2=y ^2 + 5^2 -2.y.5cos120^\circ \end{array}[/tex]

Тук сме означили [tex]AD=y[/tex], точка [tex]N[/tex] - върху [tex]AD[/tex] и такава, че [tex]CD=DN=x[/tex]
След изравняване на двете представяния на [tex]BD^2[/tex] получаваме, че [tex]y=x+5[/tex]

Означаваме [tex]\angle DCN=\gamma = \angle DNC[/tex]
Оттук [tex]\angle ADC=180-2\gamma[/tex] и [tex]\angle ABC=2\gamma[/tex]
Следователно [tex]\angle CBN=2\gamma - 60^\circ[/tex] и [tex]\angle CBD=\gamma - 30^\circ[/tex]

По синусова теорема,

Една от страните.png

(за всички хорди в описаната около ABCD окръжност), се получава
[tex]\frac{CD}{sin(\gamma - 30^\circ)}=\frac{BC}{sin(90^\circ-\gamma)}=\frac{AD}{sin(\gamma+30^\circ)}[/tex]
равносилно на
[tex]\frac{x}{sin(\gamma - 30^\circ)}=\frac{5}{sin(90^\circ-\gamma)}=\frac{5+x}{sin(\gamma+30^\circ)}[/tex]
Оттук
[tex]\begin{array}{|l} sin\gamma = \frac{1}{\sqrt{13}} \\ cos\gamma= -\sqrt{\frac{12}{13}} \end{array}[/tex]
След заместване по-горе
[tex]x=5[/tex]
Това означава, че [tex]AD=5+5=10[/tex]
и [tex]CD=5[/tex]

Не съм сигурна, но като изразявате BD от двата триъгълника, защо cos- сите са от 120. В единия триъгълник не е ли cos от 60?

[Гост]

Не си права - виж добре кои са триъгълниците ..... Вярно е решението