Успоредник.Лице

[Гост]

Здравейте,имам нужда от помощ със следната задача:За успоредник ABCD знаем,че d1=13 cm,d2=9 cm и [tex]\angle[/tex] А = 30 [tex]^\circ[/tex] ,да се намери S на успоредника.

[Davids]

Срещу ъгъл А лежи по-късият диагонал (тъй като е остър), следователно можем да приложим косинусова теорема за $\Delta ABD$, според която:
$81 = a^2 + b^2 - 2abcos30 \Rightarrow \sqrt{3}ab = a^2 + b^2 - 81$
По релацията между диагонали и страни в успоредник намираме:
$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2) \Rightarrow a^2 + b^2 = 125$
Следователно $\sqrt{3}ab = 125 - 81 = 44 \Rightarrow ab = \frac{44\sqrt{3}}{3}$
За лицето на успоредника знаем, че $S = absin\alpha = \frac{22\sqrt{3}}{3}cm^2$

[Гост]

Означаваш AB=X и AD=Y
От косинусова теорема за [tex]\Delta[/tex]ABD:
[tex]9^{2}[/tex]=[tex]X^{2}[/tex]]+[tex]Y^{2}[/tex] - 2.X.Y.cos30
За [tex]\Delta[/tex]ABC:
[tex]13^{2}[/tex]=[tex]X^{2}[/tex]+[tex]Y^{2}[/tex]- 2.X.Y.cos(180-30) или
[tex]9^{2}[/tex] = [tex]X^{2}[/tex] +[tex]Y^{2}[/tex] - X.Y.[tex]\sqrt{3}[/tex]
[tex]13^{2}[/tex] = [tex]X^{2}[/tex] + [tex]Y^{2}[/tex] +X.Y.[tex]\sqrt{3}[/tex]
Изваждаш почленно и получаваш
[tex]13^{2}[/tex] - [tex]9^{2}[/tex] = 2.X.Y.[tex]\sqrt{3}[/tex]
88= 2.X.Y.[tex]\sqrt{3}[/tex] или X.Y.[tex]\sqrt{3}[/tex]=[tex]\frac{88}{2}[/tex]
X.Y=[tex]\frac{1}{3}[/tex].44[tex]\sqrt{3}[/tex]
Но лицето на успоредника S=X.Y.sin30 [tex]\Rightarrow[/tex] S=[tex]\frac{1}{3}[/tex].44.[tex]\sqrt{3}[/tex].[tex]\frac{1}{2}[/tex]
T.E. S= [tex]\frac{1}{3}[/tex].22.[tex]\sqrt{3}[/tex]

[Гост]

Намерете лицето на успоредник със страни [tex]\sqrt{21}[/tex] и 3 см и ъгъл между диагоналите 30°

[S.B.]

Без заглавие (43).png (168.2 KiB) Прегледано 365 пъти

Намерете лицето на успоредник със страни [tex]\sqrt{21}[/tex] и 3 см и ъгъл между диагоналите 30°

Нека $AC = d_{1 }, BD = d_{2 },AB = \sqrt{21} ,AD = 3$
Прилагам косинусова теорема за $\triangle AOD$ , формулата за връзка между страните и диагоналите на успоредника и образувам системата:
[tex]\begin{array}{|l} (\displaystyle \frac{d_{1 }}{2})^{2} + (\displaystyle \frac{d_{2 }}{2})^{2} - 2.\displaystyle \frac{d_{1 }}{2} .\displaystyle \frac{d_{2 }}{2}.cos30^\circ = 3^{2}\\ d_{1 }^{2} + d_{2 }^{2} = 2.3^{2} + 2.(\sqrt{21})^{2}\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \displaystyle \frac{d_{1 }^{2} + d_{2 }^{2}}{4} - \displaystyle \frac{d_{1 }d_{2 }\sqrt{3}}{4} = 9 \\ d_{1 }^{2} + d_{2 }^{2} = 60\end{array} \Rightarrow \displaystyle \frac{60}{4} - d_{1 }.d_{2 } \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} = 9[/tex]

[tex]d_{1 }d_{2 } = 8\sqrt{3}[/tex] ; [tex]S_{ABCD } = \displaystyle \frac{d_{1 }.d_{2 }}{2}.sin30^\circ = \displaystyle \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}[/tex]