Правоъгълен триъгълник

[eliivanova]

Центърът на на окръжността, вписана в правоъгълен триъгълник, се намира на растояние корен от 5 и корен от 10 от краищата на хипотенузата. Намерете хипотенузата.

Може ли да ми помогнете с тази задача?

[Davids]

Ъгълът между тези разстояния до краищата е с връх - центърът на вписаната окръжност и е равен на 90 градуса плюс половината от ъгълa над него -> 135 градуса. Косинусова теорема за хипотенузата:
$c^2 = 5 + 10 - 2.\sqrt{5}.\sqrt{10}.cos135$
$c^2 = 15 + 10 = 25$
$c = 5$

[S.B.]

Това е само част от една красива задача!Ето цялото условие:
Даден е правоъгълен [tex]\Delta[/tex] ABC, с прав ъгъл при върха C.В него е вписана окръжност с център O,като OA=[tex]\sqrt{5}[/tex] и OB=[tex]\sqrt{10}[/tex] Окръжността се допира до AB,BC,AC съответно в точки [tex]C_{1 }[/tex],[tex]A_{1 }[/tex],[tex]B_{1 }[/tex]
а) Определете лицето на [tex]\Delta[/tex] [tex]А_{1 }[/tex][tex]B_{1 }[/tex][tex]C_{1 }[/tex]
б) през т.O e прекарана права m,такава,че m[tex]\bot[/tex] OB.Правата m пресича AB иBC съответно в т.M и т.N.Определете MN=?

[Гост]

Радиуса на вписаната окръжност намираме като височина на [tex]\Delta ABO[/tex] и с помощта на лицето на същия.
Оказва се, че [tex]r=1.[/tex]
След това откриваме и катетите на [tex]\Delta ABC[/tex].
Те са [tex]AC=4[/tex] и [tex]BC=3[/tex]
(Може и [tex]AC=3[/tex], а [tex]BC=4[/tex] )
Лицата на [tex]\Delta AC_1B_1[/tex] и [tex]\Delta BA_1C_1[/tex] намираме като [tex]\frac{27}{10}[/tex] и [tex]\frac{8}{10}[/tex], а [tex]S_{\Delta A_1B_1C}=\frac{1}{2}[/tex] - явно.
Изваждайки тези лица от лицето [tex]6[/tex] на целия [tex]\Delta ABC[/tex],
получаваме
[tex]S_{\Delta A_1B_1C_1}=6-\frac{27}{10}-\frac{8}{10}-\frac{1}{2}=2[/tex]

[Гост]

Остана буква б)

[S.B.]

Ще започна от буква а),все пак!
Разглеждам [tex]\Delta[/tex]AOB; [tex]\angle[/tex]AOB=135[tex]^\circ[/tex] (той ъгъл между ъглополовящи на [tex]\angle[/tex]А и [tex]\angle[/tex]B,а [tex]\angle[/tex]C = 90[tex]^\circ[/tex])
от косинусова теорема :[tex]AB^{2}[/tex] =5+10+2.[tex]\sqrt{5}[/tex].[tex]\sqrt{10}[/tex].[tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\sqrt{2}[/tex] или AB=5;
От лицето на [tex]\Delta[/tex]AOB:

[tex]\frac{1}{2}[/tex]АО.BO.sin135[tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex].AB.r от където r=1;
Нека [tex]\angle[/tex]OA[tex]C_{1 }[/tex]=[tex]\alpha[/tex] От [tex]\Delta[/tex]OA[tex]C_{1 }[/tex] sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{1}{5}[/tex].[tex]\sqrt{5}[/tex],а cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{2}{5}[/tex].[tex]\sqrt{5}[/tex]
Но [tex]\alpha[/tex]= [tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\angle[/tex]BAC [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BAC=2[tex]\alpha[/tex]
От формулата за удвоен ъгъл: sin2[tex]\alpha[/tex]=2sin[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\alpha[/tex] или след като заместим получаваме
sin[tex]\angle[/tex]BAC = [tex]\frac{4}{5}[/tex], от където BC=4 , а тъй като AB = 5 то следва,че AC=3
Ококло четриъгълника A[tex]C_{1 }[/tex]O[tex]B_{1 }[/tex] може да се опише окръжност [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex][tex]B_{1 }[/tex]O[tex]C_{1 }[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\alpha[/tex],аналогично [tex]\angle[/tex][tex]B_{1 }[/tex]O[tex]A_{1 }[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] и [tex]C_{1 }[/tex]O[tex]A_{1 }[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\angle[/tex]B
Тогава S[tex]\Delta[/tex][tex]A_{1 }[/tex][tex]B_{1 }[/tex][tex]C_{1 }[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex].r.r.sin(180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\alpha[/tex])+[tex]\frac{1}{2}[/tex].r.r.sin(180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\angle[/tex]B)+[tex]\frac{1}{2}[/tex].r.r.sin90[tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\frac{4}{5}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\frac{3}{5}[/tex]+[tex]\frac{1}{2}[/tex]=[tex]\frac{6}{5}[/tex]=1,2

Да разгледаме случай б)
[tex]\Delta[/tex]MNB е равнобедрен (MN[tex]\bot[/tex]OB,а OB е ъглополовяща) ОМ=[tex]\frac{1}{2}[/tex]MN
Нека [tex]\angle[/tex]MBO = [tex]\beta[/tex], тогава [tex]\frac{ОМ}{ОB}[/tex] = tg[tex]\beta[/tex] (от [tex]\Delta[/tex]MOB)
От [tex]\Delta[/tex]BO[tex]C_{1 }[/tex]:sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{1}{10}[/tex].[tex]\sqrt{10}[/tex],а cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{3}{10}[/tex].[tex]\sqrt{10}[/tex] тогава tg[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex]
ОМ=OB.tg[tex]\beta[/tex] или окончателно OM=[tex]\frac{1}{3}[/tex].[tex]\sqrt{10}[/tex], а MN=[tex]\frac{2}{3}[/tex].[tex]\sqrt{10}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Добре се е потрудил S.B. » Сря Юни 21, 2017 10:33 pm.
а)
[tex]S_{\Delta A_1B_1C_1}=S_{\Delta ABC}-S_{\Delta AB_1C_1}-S_{\Delta A_1BC_1}-S_{\Delta A_1B_1C} \,\ (\ast)[/tex]
От решението на Davids » Нед Юни 18, 2017 5:10 pm
[tex]AB=5 \,\ \Rightarrow \,\ BC=3; \,\ AC=4[/tex]
(Разбира се, може и обратно BC=4 ; AC=3)
Така [tex]S_{\Delta ABC}=6[/tex]
Оттук веднага [tex]sin\alpha=\frac{3}{5}[/tex] и [tex]sin \beta=\frac{4}{5}[/tex]
Следователно
[tex]S_{\Delta AB_1C_1}=\frac{1}{2}.3.3.\frac{3}{5}=\frac{27}{10}[/tex]
[tex]S_{\Delta A_1BC_1}=\frac{1}{2}.2.2.\frac{4}{5}=\frac{16}{10}[/tex]
и явно
[tex]S_{\Delta A_1B_1C}=\frac{1}{2}[/tex]
Замествайки в [tex](\ast)[/tex], получаваме [tex]S_{\Delta A_1B_1C_1}=6-\frac{27}{10}-\frac{16}{10}-\frac{1}{2}=\frac{12}{10}=1,2[/tex]
__________
а) Още "по-кратко" решение се получава с формулата [tex]S=2R^2sin \alpha sin \beta sin \gamma[/tex], като в случая ъглите са [tex]\angle A_1B_1C_1 =\frac{\beta}{2}+45^\circ, \angle B_1C_1A_1= \frac{\alpha+\beta}{2}=45^\circ, \angle C_1A_1B_1=\frac{\alpha}{2}+45^\circ[/tex] , а радиусът на описаната окръжност за [tex]\Delta A_1B_1C_1[/tex] е намереният [tex]r=1[/tex] - радиус на вписаната в [tex]\Delta ABC[/tex].
Синусите на въпросните ъгли намираме благодарение на очевидните - от определението
[tex]tg \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]tg \frac{\beta}{2}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]tg \frac{\gamma}{2}=tg 45^\circ =1[/tex] и с помощта на формулата за [tex]tg(\varphi+\psi ) \,\ (\ast \ast)[/tex]
намираме тангенсите им (- на [tex]\angle A_1B_1C_1, \angle B_1C_1A_1, \angle C_1A_1B_1) - съответно[/tex]
[tex]2, 1[/tex] и [tex]3[/tex], а чрез тях синусите им [tex]\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{2}}{2} , \frac{3}{\sqrt{10}}[/tex] (съответно).
И така, формулата от началото дава
[tex]S_{\Delta A_1B_1C_1}=2.1^2.\frac{2}{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{2}}{2} . \frac{3}{\sqrt{10}}=1,2[/tex]
- - - - - - - - - - - - - - -
[tex]^{\ast \ast}[/tex]S.B. » Вто Юни 20, 2017 9:14 pm
Това е само част от една красива задача!Ето цялото условие: ...

S.B.е прав за красотата на тази задача. Това, че половината планиметрия с тригонометрия може да преговорим с нея, е едно от лицата ѝ.