Малко помощ със задача с параметър.

[itsmeloto]

x^{y}Намерете стойностите на параметъра m, за които корените на уравнението (m-2)x^{2} - 2(m+3)x + 4m = 0 са различни и отрицателни. Имам проблем с тази задача , моля за помощ!

[S.B.]

(m - 2).[tex]x^{2}[/tex] + 2.(m + 3).x +4.m = 0
Ако (m - 2) = 0 уравнението се превръща в линейно и ще има само един корен,следователно m - 2[tex]\ne[/tex]0 и m[tex]\ne[/tex]2
За да има 2 различни корен трябва D>0
D = 4.[tex]( m + 3 )^{2}[/tex] - 16.m.(m - 2 ) = 4.( - 3[tex]m^{2}[/tex] + 14.m + 9 ) > 0 или
-3[tex]m^{2}[/tex] + 14m + 9 > 0 съответно 3[tex]m^{2}[/tex] - 14m - 9 < 0
3.( m - [tex]m_{1 }[/tex] )( m - [tex]m_{2 }[/tex]) < 0,където [tex]m_{1 }[/tex] = [tex]\frac{7 + 2\sqrt{19}}{3}[/tex] [tex]\approx[/tex] 5,24 и [tex]m_{2 }[/tex] = [tex]\frac{7 - 2\sqrt{19}}{3}[/tex] [tex]\approx[/tex] - 0,86
Решение на неравенството 3.( m - 5,24 )(m + 0,86) < 0 е m[tex]\in[/tex] (0,86 , 5,24)
корените [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] трябва да са отрицателни: тогава от Виет следва:
[tex]x_{1 }[/tex] + [tex]x_{2 }[/tex] = -[tex]\frac{2(m + 3 )}{(m - 2 )}[/tex] < 0 [tex]\rightarrow[/tex] [tex]\frac{2(m + 3)}{(m - 2 )}[/tex] > 0
След решаване на неравенството се получава : m[tex]\in[/tex]( - [tex]\infty[/tex] ,-3)[tex]\cup[/tex] ( 2 , +[tex]\infty[/tex])
[tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] са с еднакви знаци и пак от Виет следва [tex]\frac{4m}{( m - 2 )}[/tex] > 0
След решаване на неравенството получаваме : m[tex]\in[/tex] ( - [tex]\infty[/tex], 0 ) [tex]\cup[/tex] ( 2 , +[tex]\infty[/tex])
След обединяването на решенията на трите нераванства:
m [tex]\in[/tex] (- 0.86 , 5,24)
m [tex]\in[/tex] ( - [tex]\infty[/tex] , 0) [tex]\cup[/tex](2 ,+[tex]\infty[/tex])
m [tex]\in[/tex] ( -[tex]\infty[/tex] , -3) [tex]\cup[/tex] ( 2 , +[tex]\infty[/tex])
получаваме окончателно m [tex]\in[/tex]( 2 , 5,24 ) или по-точно m[tex]\in[/tex] ( 2 , [tex]\frac{7 + 2\sqrt{19}}{3}[/tex]) ,защото само в този интервал и трите неравенства имат решение

[itsmeloto]

Благодаря, успях да намеря грешката си, благодарение на решението!