Дробни ирационални уравнения (полагане )

[itsmeloto]

Моля за помощ за следните задачи:
1) 3.[tex]\sqrt{2x+6}[/tex] - 2.[tex]\sqrt{x+2}[/tex] = (10+2x)/[tex]\sqrt{2x+6}[/tex]

2) [tex]\sqrt{4x^{2}+3x+14}[/tex] - [tex]\sqrt{4x^{2}+3x+3}[/tex]=1

[Гост]

1 зад. Може и без полагане ,корените са: -1 и -2,които [tex]\in[/tex]Д.М.

[Davids]

1. Зад.: Полагаме $t = x+3$ и израза придобива вида:
$3\sqrt{2t} - 2\sqrt{t-1} = \frac{2(t+2)}{\sqrt{2t}}$
ДС: $x \ge -2$
Освобождаваме от строго положителен знаменател, с уговорката, че $t \ne 0 \Rightarrow x \ne 3$, получаваме:
$6t - 2\sqrt{2t(t-1)} = 2(t+2)$
$2(t-1) = \sqrt{2t(t-1)}$
$\Rightarrow \sqrt{2(t-1)}(\sqrt{2(t-1)} - \sqrt{t})$
$t_1 = 1$ от пръв поглед, $t_2$ намираме:
$\sqrt{2(t-1)} = \sqrt{t}$
$2t - 2 = t$
$t_2 = 2$
$\Rightarrow x_1 = -2; x_2 = -1$

2. Зад.: Полагаме $t = 4x^2 + 3x + 3$ и получаваме:
$\sqrt{t + 11} - \sqrt{t} = 1$
ДС: $t \ge 0$, което е изпълнено за $\forall x$
Повдигаме на втора:
$t + 11 = 1 + 2\sqrt{t} + t$
$\sqrt{t} = 5$
$t = 25$
$\Rightarrow 4x^2 + 3x + 3 = 25$
$4x^2 + 3x - 22 = 0$
$x_1 = -\frac{11}{4}$
$x_2 = 2$

[ева]

Накрая в 1 зад. напиши колко са:[tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] .

[S.B.]

Зад.1: 3.[tex]\sqrt{2.х + 6}[/tex] - 2.[tex]\sqrt{x + 2}[/tex] = [tex]\frac{10 +2.х}{\sqrt{2.х + 6}}[/tex]
DM: 2x + 6 >0 [tex]\rightarrow[/tex]x> -3 ; x + 2 [tex]\ge[/tex]0 [tex]\rightarrow[/tex] x[tex]\ge[/tex] -2
DM: x[tex]\in[/tex] [-2 ,+[tex]\infty[/tex]) Превеждам под общ знаменател:
3.(2х + 6) - 2.[tex]\sqrt{(х + 2)(2х + 6)}[/tex] = 10 +2х
6х + 18 - 10 - 2х =2.[tex]\sqrt{2(х + 3)(х + 2)}[/tex]
4.х + 8 =2.[tex]\sqrt{2(х+3)(х+2)}[/tex] или 2(х + 2) = [tex]\sqrt{2(х + 3)(х + 2)}[/tex]
Повдигам на втора степен и получавам: 4.[tex](x + 2)^{2}[/tex] = 2.(x + 3)(x + 2)Преобразувам и получавам:
(х + 2)(2х + 4 - х - 3) = 0 или (х +2)(х + 1)=0 и [tex]x_{1 }[/tex] = -2 и [tex]x_{2 }[/tex] = -1,които принадлежат на DM и при непосредствена проверка удовлетворяват равенството,така,че корените са :[tex]x_{1 }[/tex] = -1 и [tex]x_{2 }[/tex] = -2
Зад. 2 :[tex]\sqrt{4x^{2} + 3х + 14}[/tex] - [tex]\sqrt{4x^{2} + 3х + 3}[/tex] = 1
DM : 4[tex]x^{2}[/tex] + 3х +14 >0 и 4[tex]x^{2}[/tex] + 3x +3 >0 за [tex]\forall[/tex] х [tex]\in[/tex](- [tex]\infty[/tex] , +[tex]\infty[/tex])
Полагам 4[tex]x^{2}[/tex] +3х = t и получавам:[tex]\sqrt{t + 14}[/tex] - [tex]\sqrt{t + 3}[/tex] = 1
[tex]\sqrt{t + 14}[/tex] = 1 + [tex]\sqrt{t + 3}[/tex] Повдигам на втора степен ,преобразувам и получавам:
[tex]\sqrt{t + 3}[/tex] = 5, Отново повдигам на втора степен и получавам: t + 3 =25 ,от където t= 22
Връщам се към субституцията : 4[tex]x^{2}[/tex] +3х = t и получавам 4[tex]x^{2}[/tex] + 3х = 22, от където 4[tex]x^{2}[/tex] + 3х -22 = 0
получавам [tex]x_{1 }[/tex] = 2 и [tex]x_{2 }[/tex] = -[tex]\frac{11}{4}[/tex] = - 2,75
При непосредствена проверка се получава : за х= 2 [tex]\sqrt{16 +6 + 14}[/tex] - [tex]\sqrt{16 + 6 + 3}[/tex] =[tex]\sqrt{36}[/tex] -[tex]\sqrt{25}[/tex] = 6 - 5 =1;

за х= -2,75 : [tex]\sqrt{30,25 - 8,25 + 14}[/tex] - [tex]\sqrt{30,25 - 8,25 + 3}[/tex] =[tex]\sqrt{36}[/tex] - [tex]\sqrt{25}[/tex] = 6 - 5 =1
Следователно решенията са [tex]x_{1 }[/tex] = 2 и [tex]x_{2 }[/tex] = - 2,75

[Гост]

Код: Избери целия код

[quote][b][/b][/quote]

1. Зад.: Полагаме $t = x+3$ и израза придобива вида:
$3\sqrt{2t} - 2\sqrt{t-1} = \frac{2(t+2)}{\sqrt{2t}}$
ДС: $x \ge -2$
Освобождаваме от строго положителен знаменател, с уговорката, че $t \ne 0 \Rightarrow x \ne 3$, получаваме:
$6t - 2\sqrt{2t(t-1)} = 2(t+2)$
$2(t-1) = \sqrt{2t(t-1)}$
$\Rightarrow \sqrt{2(t-1)}(\sqrt{2(t-1)} - \sqrt{t})$
$t_1 = 1$ от пръв поглед, $t_2$ намираме:
$\sqrt{2(t-1)} = \sqrt{t}$
$2t - 2 = t$
$t_2 = 2$
$\Rightarrow x_1 = -2; x_2 = -1$

2. Зад.: Полагаме $t = 4x^2 + 3x + 3$ и получаваме:
$\sqrt{t + 11} - \sqrt{t} = 1$
ДС: $t \ge 0$, което е изпълнено за $\forall x$
Повдигаме на втора:
$t + 11 = 1 + 2\sqrt{t} + t$
$\sqrt{t} = 5$
$t = 25$
$\Rightarrow 4x^2 + 3x + 3 = 25$
$4x^2 + 3x - 22 = 0$
$x_1 = -\frac{11}{4}$
$x_2 = 2$