Домашна работа - 10 клас

[mixaela_m02]

Ако може някой да помогне, условието на задачата е сравнете числата. Урокът е от Степен с реален показател, за 10 клас.

[Davids]

Имаш две неща да съобразиш - основата и степента. Тоест следваме следните зависимости:
- ако основата е по-голяма от едно, то с нарастване на степента нараства и целия израз, следователно при по-голяма степен имаш и по-голямо число;
- ако основата е между 0 и 1, то важи точно обратното - с нарастване на степента ти нараства разликата в отношението числител-знаменател, където знаменателят е по-голям (за да е инициално между 0 и 1 основата), то значи намалява и целия израз. Следователно тук имаш зависимостта по-голяма степен - по-малко число.

[Петър Евгениев]

Задача 7. [tex]2^{-3}[/tex] и [tex]2^{-\sqrt{10}}[/tex], основата е 2>1, значи трябва да сравниш [tex]-3[/tex] и [tex]-\sqrt{10}[/tex]
[tex]-3=-\sqrt{9},[/tex] и [tex]-\sqrt{10}\Rightarrow[/tex]10>9, но те са с минус пред корена значи се обръща [tex]-\sqrt{9}>-\sqrt{10} \Rightarrow -3>-\sqrt{10}[/tex] Основата е по-голяма от 1 (неправилна дроб може да срещнеш, стига да е по-голямо от 1) значи знака на степените и знака на цялото нещо е едни и същи демек щом 2>0 и [tex]-\sqrt{9}>-\sqrt{10}[/tex], то [tex]2^{-3}>2^{-\sqrt{10}}[/tex]

[Петър Евгениев]

Задача 8. Веднага виждаш основата , тя е 0,3 демек между 0 и 1 0<0,3<1, или ПРАВИЛНА дроб ([tex]\frac{3}{10}[/tex], значи след като сравниш степените знака на цялото ще бъде обратен на този на степените.
[tex]0,3^{1,5}[/tex] и [tex]0,3^{\sqrt{3}}[/tex]
[tex]1,5[/tex] и [tex]\sqrt{3}[/tex], повдигаме на квадрат и двете по отделно и става [tex](1,5)^{2}=2,25, (\sqrt{3})^{2}=3; 2,25<3\Rightarrow 1,5<\sqrt{3}[/tex] Основата пак казвам 0<0,3<1 демек е между 0 и 1 , значи обръщаме знака от сравняването на степените [tex]\sqrt{3})^{2}=3; 2,25<3\Rightarrow 1,5<\sqrt{3}[/tex][tex]\rightarrow[/tex][tex]0,3^{1,5}>0,3^{\sqrt{3}}[/tex]

[Петър Евгениев]

Задача 9. [tex](\frac{1}{3})^{\sqrt{7}}[/tex] и [tex](\frac{1}{3})^{3}[/tex]
[tex]\sqrt{7}[/tex] и [tex]3[/tex], сравнявам степените
[tex]\sqrt{7}^{2}=7[/tex] и [tex]3^{2}=9[/tex][tex]7<9[/tex][tex]\Rightarrow \sqrt{7}<3[/tex]
Основате е [tex]]\frac{1}{3}=0,(3)[/tex] или правилна дроб за 100 път (числителя е по-голям от знаменателя, значи ще е между 0 и 1),значи сменяш знака на неравенството[tex]\sqrt{7}<3[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex](\frac{1}{3})^{\sqrt{7}}>(\frac{1}{3})^{3}[/tex]

[Петър Евгениев]

Задача 10. [tex](\frac{1}{7})^{\sqrt{5}}[/tex] и [tex](\frac{1}{7})^{2}[/tex], Основата е между 0 и 1 значи пак сравняваме степените и обръщаме знака.
[tex]\sqrt{5}[/tex] и [tex]2[/tex]
[tex](\sqrt{5})^{2}=5[/tex]
[tex]2^{2}=4[/tex]
[tex]5>4\Rightarrow \sqrt{5}>2[/tex]
[tex]\Rightarrow(\frac{1}{7})^{\sqrt{5}}<(\frac{1}{7})^{2}[/tex]

[Петър Евгениев]

Задача 11. [tex](\frac{1}{5})^{2\sqrt{2}}[/tex] и [tex]5^{-3}[/tex], сега основите не са равни и трябва да ги направим равни зада можем да прилагаме тези правила.
[tex]\frac{1}{5}=5^{-1}[/tex]
[tex]a^{b}\Leftrightarrow\frac{1}{a^{-b}}[/tex], Нещо такова трябва да ти изглежда и в учебника от основните действия на степенуване още от 6 клас и 10 пак.
[tex]5^{-2\sqrt{2}}[/tex] и [tex]5^{-3}[/tex]
Основата вече е 5>1 , значи знака между степените е същия като знака между основата и степента заедно.
[tex](-2\sqrt{2})[/tex] и [tex]-3[/tex]
[tex](-2\sqrt{2})^{2}=4.2=8[/tex]
[tex](-3)^{2}=9[/tex]
[tex]8<9\Rightarrow (-2\sqrt{2})>-3[/tex]
[tex]5^{-2\sqrt{2}}>5^{-3}[/tex]
[tex](\frac{1}{5})^{2\sqrt{2}}>5^{-3}[/tex]

[Петър Евгениев]

Задача 12. [tex](\sqrt{5}-2)^{\sqrt{3}}[/tex] и [tex](\sqrt{5}-2)^{2}[/tex]
[tex]\sqrt{4}=2\Rightarrow\sqrt{5}=2,(и нещо)>2[/tex], значи [tex]0<(\sqrt{5}-2)<1[/tex], това нещо е между 0 и 1
[tex]\sqrt{3}[/tex] и [tex]2[/tex]
[tex](\sqrt{3})^{2}=3[/tex]
[tex]2^{2}=4[/tex]
[tex]3<4\Rightarrow\sqrt{3}<2[/tex], обръщаме знака.
[tex](\sqrt{5}-2)^{\sqrt{3}}>(\sqrt{5}-2)^{2}[/tex]

[mixaela_m02]

Задача 12. [tex](\sqrt{5}-2)^{\sqrt{3}}[/tex] и [tex](\sqrt{5}-2)^{2}[/tex]
[tex]\sqrt{4}=2\Rightarrow\sqrt{5}=2,(и нещо)>2[/tex], значи [tex]0<(\sqrt{5}-2)<1[/tex], това нещо е между 0 и 1
[tex]\sqrt{3}[/tex] и [tex]2[/tex]
[tex](\sqrt{3})^{2}=3[/tex]
[tex]2^{2}=4[/tex]
[tex]3<4\Rightarrow\sqrt{3}<2[/tex], обръщаме знака.
[tex](\sqrt{5}-2)^{\sqrt{3}}>(\sqrt{5}-2)^{2}[/tex]

Благодаря Ви много, за вниманието и задачите!!

[mixaela_m02]

Имаш две неща да съобразиш - основата и степента. Тоест следваме следните зависимости:
- ако основата е по-голяма от едно, то с нарастване на степента нараства и целия израз, следователно при по-голяма степен имаш и по-голямо число;
- ако основата е между 0 и 1, то важи точно обратното - с нарастване на степента ти нараства разликата в отношението числител-знаменател, където знаменателят е по-голям (за да е инициално между 0 и 1 основата), то значи намалява и целия израз. Следователно тук имаш зависимостта по-голяма степен - по-малко число.

Благодаря Ви!!

[ptj]

Важна забележка : Написаното от Davids се отнася само сравняване на изрази с една и съща основа.

Пример: Ако искате да сравните примерно [tex]2^\sqrt{3}[/tex] и [tex]3^\sqrt{2}[/tex] не можете да приложите директно нито едно от споменатите правила.

Ето 2 основни варианта за решение на този проблем:
1.)Директно пресмятане и сравняване на получените приближени стойности с 3 -то число, намиращо се между тях
[tex]2^\sqrt{3}\approx 2^{1.73205}\approx 3.3220[/tex]
[tex]3^\sqrt{2}\approx 3^{1.41421}\approx 4.7288[/tex]
т.е. [tex]2^\sqrt{3}<4<3^\sqrt{2}[/tex]

2.) Приравняваме 2-та израза към степени с една и съща основа и след това прилагаме споменарите от Davids правила.
Предпочитана степен е неперовото число [tex]е\approx 2,71828[/tex], защото операция логаритмуване [tex]ln (x)[/tex] присъства в повечето модели калкулатори и изчислителни устройства.
Използваме [tex]a^b=e^{\big(ln (a)\big).b}[/tex]

[tex]A=2^\sqrt{3}=e^{ln2.\sqrt{3}}=e^{\sqrt{(ln2)^2.3}} =e^{\big((ln2)^2.3\big)^{\frac{1}{2}}}[/tex]

[tex]B=3^\sqrt{2}=e^{ln3.\sqrt{2}}=e^{\sqrt{(ln3)^2.2}} =e^{\big((ln3)^2.2\big)^{\frac{1}{2}}}[/tex]

Понеже [tex]е>1[/tex], то [tex]А>B[/tex] точно когато [tex]\big((ln2)^2.3\big)^{\frac{1}{2}}>\big((ln3)^2.2\big)^{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (ln2)^2.3>(ln3)^2.2[/tex], защото 2-те основи са по-големи от единица.

Последното е еквивалентно на [tex]9^{ln2}=(3^2)^ln2=e^{3(ln2)(ln2)}>e^{2(ln3)(ln3)}=(2^3)^{ln3}=8^{ln3}[/tex].

На практика по-нататъшно опростяване с елементарни средства е невъзможно.

Този пример показва, че понякога е невъзможно да сравним 2 степени с различни основи само въз основа на формули за преобразуване.
Т.е. на определен етап ще трябва да се възползваме от друга възможност - например таблици, графики, изчислителни устройства, приложен математически софтуер и др.