Косинусова теорема - задачача с ъглополовяща.

[Гост]

Моля за помощ! Задачата е следната:
Даден е триъгълник ABC, в който AB = 7 и AC = 9. Ъглополовящата на ъгъл BAC пресича страната BC в точка D така, че AD=BD. Намерете BC.

[S.B.]

[tex]\triangle[/tex]ABC,AB = 7,AC = 9,AD - ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]BAC,като т.D лежи на BC и АD= BD;Търси се BC=?
Нека AD = BD =x; DC = y;[tex]\angle[/tex]BAD = [tex]\angle[/tex]DAC = [tex]\varphi[/tex];
За [tex]\triangle[/tex]BAD и [tex]\triangle[/tex]DАC прилагам косинусова теoрема:[tex]DB^{2}[/tex]= [tex]AB^{2}[/tex] + [tex]AD^{2}[/tex] - 2AB.AD.cos[tex]\varphi[/tex] и [tex]DC^{2}[/tex] = [tex]AD^{2}[/tex] + [tex]AC^{2}[/tex] - 2.AD.AC.cos[tex]\varphi[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} x^{2}= 7^{2} +x^{2} - 2.7.x.cos\varphi \\ y^{2} = 9^{2} +x^{2} - 2.9.x.cos\varphi \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} 14xcos\varphi= 49 \\ y^{2} = x^{2} + 9(9 -2xcos\varphi )\end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\begin{array}{|l} 2xcos\varphi = 7 \\ y^{2} = x^{2} + 9(9 - 2xcos\varphi )\end{array}[/tex]
След заместване се получава [tex]y^{2}[/tex] = [tex]x^{2}[/tex] + 18 ;Но AD e ъглополовяща и [tex]\frac{DB}{DC}[/tex] = [tex]\frac{AB}{AC}[/tex] или [tex]\frac{х}{y}[/tex] = [tex]\frac{7}{9}[/tex] тогава образуваме системата:
[tex]\begin{array}{|l} y^{2}= x^{2} + 18 \\ x = \frac{7y}{9} \end{array}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]y^{2}[/tex] = [tex]\frac{49y^{2}}{81}[/tex] + 18[tex]\Rightarrow[/tex][tex]y^{2}[/tex](1 - [tex]\frac{49}{81}[/tex]) = 18 от където след преработка y= [tex]\frac{27}{4}[/tex] ,a от х=[tex]\frac{7}{9}[/tex].y следва
х = [tex]\frac{7}{9}[/tex].[tex]\frac{27}{4}[/tex] или х = [tex]\frac{21}{4}[/tex] ,a BC = [tex]\frac{21}{4}[/tex] + [tex]\frac{27}{4}[/tex] = [tex]\frac{48}{4}[/tex] = 12

[ева]

Интересно е,че може да се реши само чрез sin T.От AD=BD[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]ABD е равноб.[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ABD=[tex]\angle[/tex]BAD=[tex]\varphi[/tex]
sin T за [tex]\triangle[/tex]АВС [tex]\frac{AC}{sin\varphi}[/tex]=[tex]\frac{BC}{sin2\varphi}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{9}{sin\varphi}[/tex]=[tex]\frac{12}{sin2\varphi}[/tex]; 3.2sin[tex]\varphi[/tex]cos[tex]\varphi[/tex]=4sin[tex]\varphi[/tex] ; cos[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{2}{3}[/tex] (1)
sin T за [tex]\triangle[/tex]ADC [tex]\frac{AC}{sin2\varphi}[/tex]=[tex]\frac{DC}{sin\varphi}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{9}{sin2\varphi}[/tex]=[tex]\frac{у}{sin\varphi}[/tex] ; 9sin[tex]\varphi[/tex]=у.2sin[tex]\varphi[/tex].cos[tex]\varphi[/tex] ; у=[tex]\frac{9}{2cos\varphi}[/tex] (2)
зам. (1) в (2) у=[tex]\frac{9}{2.\frac{2}{3}}[/tex]=[tex]\frac{27}{4}[/tex]
[tex]AHD[/tex]-правоъг.cos[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{\frac{AB}{2}}{AD}[/tex] (т.Н-среда на АВ) ; [tex]\frac{2}{3}[/tex]=[tex]\frac{7}{2х}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] х=[tex]\frac{21}{4}[/tex]
ВС=х+у=[tex]\frac{21}{4}[/tex]+[tex]\frac{27}{4}[/tex]=12

[S.B.]

Интересно е,че може да се реши само чрез sin T.От AD=BD[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]ABD е равноб.[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ABD=[tex]\angle[/tex]BAD=[tex]\varphi[/tex]
sin T за [tex]\triangle[/tex]АВС [tex]\frac{AC}{sin\varphi}[/tex]=[tex]\frac{BC}{sin2\varphi}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{9}{sin\varphi}[/tex]=[tex]\frac{12}{sin2\varphi}[/tex]; 3.2sin[tex]\varphi[/tex]cos[tex]\varphi[/tex]=4sin[tex]\varphi[/tex] ; cos[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{2}{3}[/tex] (1)
sin T за [tex]\triangle[/tex]ADC [tex]\frac{AC}{sin2\varphi}[/tex]=[tex]\frac{DC}{sin\varphi}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{9}{sin2\varphi}[/tex]=[tex]\frac{у}{sin\varphi}[/tex] ; 9sin[tex]\varphi[/tex]=у.2sin[tex]\varphi[/tex].cos[tex]\varphi[/tex] ; у=[tex]\frac{9}{2cos\varphi}[/tex] (2)
зам. (1) в (2) у=[tex]\frac{9}{2.\frac{2}{3}}[/tex]=[tex]\frac{27}{4}[/tex]
[tex]AHD[/tex]-правоъг.cos[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{\frac{AB}{2}}{AD}[/tex] (т.Н-среда на АВ) ; [tex]\frac{2}{3}[/tex]=[tex]\frac{7}{2х}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] х=[tex]\frac{21}{4}[/tex]
ВС=х+у=[tex]\frac{21}{4}[/tex]+[tex]\frac{27}{4}[/tex]=12

Да,можеше,ако беше дадено,че BC=12,което ти използваш!Но (забележи!) BC се търси в тази задача.а отговорът е BC=12,който ти използваш като дадено,а после стигаш до заключението,че BC=12

[ева]

В последния момент реших да променя р-то,защото така както го пратих изглеждаше по-лесно.

Скрит текст: покажи

Защо ли съм нанесла 12 в/у чережа

Оригиналният запис е: [tex]\frac{AC}{sin\varphi}[/tex]=[tex]\frac{AB}{sin(180^\circ- 3\varphi)}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 9sin 3[tex]\varphi[/tex]=7sin[tex]\varphi[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 9(3sin[tex]\varphi[/tex]-4[tex]sin^{3}[/tex][tex]\varphi[/tex])=7sin[tex]\varphi[/tex] /:sin[tex]\varphi[/tex][tex]\ne[/tex]0
27-36[tex]sin^{2}[/tex][tex]\varphi[/tex]=7 [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]=[tex]\sqrt{\frac{20}{36}}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{5}}{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{2}{3}[/tex] Така получаваме (1) ,нататък е същото.

[S.B.]

В последния момент реших да променя р-то,защото така както го пратих изглеждаше по-лесно.

Скрит текст: покажи

Защо ли съм нанесла 12 в/у чережа

Оригиналният запис е: [tex]\frac{AC}{sin\varphi}[/tex]=[tex]\frac{AB}{sin(180^\circ- 3\varphi)}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 9sin 3[tex]\varphi[/tex]=7sin[tex]\varphi[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 9(3sin[tex]\varphi[/tex]-4[tex]sin^{3}[/tex][tex]\varphi[/tex])=7sin[tex]\varphi[/tex] /:sin[tex]\varphi[/tex][tex]\ne[/tex]0
27-36[tex]sin^{2}[/tex][tex]\varphi[/tex]=7 [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\varphi[/tex]=[tex]\sqrt{\frac{20}{36}}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{5}}{3}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\varphi[/tex]=[tex]\frac{2}{3}[/tex] Така получаваме (1) ,нататък е същото.

Далеч съм от мисълта да споря една задача по колко начина може да се реши,но задачата е за 10 клас,а там все още не се говори за sin3[tex]\varphi[/tex] (тези формули се изучават в 11 клас) и нещо повече - още в заглавието е упоменато,че се търси помощ свързана с косинусова теорема.

[ева]

Исках да насърча Гост,че (понякога ) дори да изглежда зад. нерешима-тя може да се реши по няколко начина.