Синус и Косинус

[Гост]

1. Намерете sin[tex]\alpha[/tex] , cos[tex]\alpha[/tex] и cotg[tex]\alpha[/tex] , ако tg[tex]\alpha[/tex] = -[tex]\frac{3}{4}[/tex] ; [tex]\alpha[/tex] [tex]\epsilon[/tex] (90;180[tex]^\circ[/tex])

2. Пpесметнете ([tex]sin^{2}[/tex] 45[tex]^\circ[/tex] - [tex]cos^{2}[/tex] 30[tex]^\circ[/tex])tg.120[tex]^\circ[/tex]

3. Опростете израза:
a) sin (180+[tex]\alpha[/tex]) sin (180-[tex]\alpha[/tex]) tg (90+[tex]\alpha[/tex]) cotg[tex]\alpha[/tex] (-[tex]\alpha[/tex]) ВЪРХУ cos(180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])tg(-2).cotg[tex]\alpha[/tex]

б) [tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] - [tex]sin^{4}[/tex][tex]\alpha[/tex]+[tex]cos^{4}[/tex][tex]\alpha[/tex]

4. 1-[tex]sin^{4}[/tex][tex]\alpha[/tex] - [tex]cos^{4}[/tex][tex]\alpha[/tex] ВЪРХУ [tex]cos^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex] = 2 [tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]


Извинявам се, че някъде съм писал "ВЪРХУ", но просто не успях да направя дробна черта.

[Петър Евгениев]

Задача 1.[tex]\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=-\frac{3}{4} \Leftrightarrow sin\alpha=-\frac{3cos\alpha}{4}[/tex]
[tex]sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1 \Leftrightarrow (-\frac{3cos\alpha}{4})^{2}+cos^{2}\alpha=1[/tex]
[tex]\frac{9cos^{2}\alpha}{16}+cos^{2}\alpha=1[/tex]
[tex]\frac{9cos^{2}\alpha+16cos^{2}\alpha}{16}=1[/tex]
[tex]\frac{25cos^{2}\alpha}{16}=1 \Leftrightarrow (\frac{5cos\alpha}{4})^{2}=1 \Rightarrow \frac{5cos\alpha}{4}=\pm 1 \alpha \in (90;180)[/tex](Втори квадрант, там косинуса е минус, значи зимаме отрицателния знак [tex]\Rightarrow \frac{5cos\alpha}{4}=-1 \Leftrightarrow cos\alpha=-\frac{4}{5}[/tex] сега заместваш в [tex]sin\alpha=-\frac{3cos\alpha}{4}[/tex], за да намериш синус.
[tex]sin\alpha=-\frac{3.\frac{-4}{5}}{4}=\frac{3}{5}[/tex]
За котангенс е лесно, той е реципрочен на тангенс [tex]cotg\alpha=\frac{1}{tg\alpha}=-\frac{4}{3}[/tex]

[ева]

4 зад.
Условието е:Докажете тъждеството
Опростяваме лявата страна,докато получим дясната страна.
[tex]\frac{1-(sin^{4}\alpha+cos^{4}\alpha)}{cos^{2}\alpha}[/tex]=

=[tex]\frac{1-[ (sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha)^{2}-2sin^{2}\alpha.cos^{2}\alpha]}{cos^{2}\alpha}[/tex]=

=[tex]\frac{1-1^{2}+2sin^{2}\alpha.cos^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha}[/tex]=

=[tex]\frac{2sin^{2}\alpha.cos^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha}[/tex]=

=2[tex]sin^{2}\alpha[/tex] ( получихме дясната страна)