Равностранен триъгълник

[Гост]

Да се намери лицето на равностранен триъгълник,вписан в квадрат със страна а,ако един от върховете на триъгълника съвпада с връх на квадрата.

[KOPMOPAH]

Равностранен триъгълник в квадрат.png (20.31 KiB) Прегледано 529 пъти

За да е по-ясно решението съм приложил чертеж, макар че можеше да мине и описателно

Както се вижда, квадратът е $ABCD$, страната му - $a$, триъгълникът (не тр-ка ) е $DHI$, страната му - $x$, т.$E$ е среда на $DI$, а $EG$ е перпендикуляр към $AB$ и следователно $EG$ е средна отсечка за трапеца $ABID$ и т.$G$ е среда на $AB$. Въвеждаме $b=BI$, следователно $DF=a-b$.
От подобието на триъгълниците $\triangle HGI \approx \triangle FID$ следва $EH:EG=ID:IF\Rightarrow \frac{\frac{x\sqrt 3}2}{ \frac{a+b}2}=\frac xa \Rightarrow b=a(\sqrt 3-1)$
За $\triangle FID$ по Питагорова теорема имаме $x^2=a^2+(a-b)^2\Rightarrow x^2=a^2+\left(a-a(\sqrt 3-1)\right)^2\Rightarrow x^2=a^2+a^2(7-4\sqrt 3)=4(2-\sqrt 3)a^2$

Търсеното лице $S_{DHI}=x^2\frac {\sqrt 3}4=4(2-\sqrt 3)a^2.\frac {\sqrt 3}4=(2\sqrt 3-3) a^2$

[S.B.]

Не съм много сигурна,но ще пробвам.Нека квадрата е ABCD със страна =а;Върху AB и BC избирам съответно точки M и N,такива,че MB=NB =x и тогава AM = CN= a - x, като за х предполагам х[tex]\in[/tex](0,а).Ще се опитам да намеря такава стойност за х,че [tex]\triangle[/tex]МND да бъде равностранен.
За [tex]\triangle[/tex]МBN,който е равнобедрен и правоъгълен и MB=NB=x получавам MN=x[tex]\sqrt{2}[/tex];
[tex]\triangle[/tex]AMD[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]CND,правоъгълни;[tex]MD^{2}[/tex] = [tex]AM^{2}[/tex] + [tex]AD^{2}[/tex] или [tex]MD^{2}[/tex] = [tex]a^{2}[/tex] + [tex](a - x)^{2}[/tex] и [tex]МD^{2}[/tex] = 2[tex]а^{2}[/tex] - 2ах + [tex]x^{2}[/tex]
За да бъде [tex]\triangle[/tex]MND равностранен е необходимо DM = MN = DN и понеже DM=DN достатъчно е DM = MN [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\sqrt{2a^{2} - 2ax +x^{2}}[/tex] = x[tex]\sqrt{2}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] 2[tex]a^{2}[/tex] - 2ax + [tex]x^{2}[/tex] = 2[tex]x^{2}[/tex] От където [tex]x^{2}[/tex] + 2ах - 2[tex]а^{2}[/tex] = 0,което има корени : [tex]x_{1 }[/tex] = -а([tex]\sqrt{3}[/tex] + 1)<0 и е извън ДМ и [tex]x_{2 }[/tex] = а([tex]\sqrt{3}[/tex] - 1) [tex]\approx[/tex]0,73a <a и принадлежи на ДМ
Тогава [tex]\triangle[/tex]MND щe e равностранен със страна = х[tex]\sqrt{2}[/tex] =а[tex]\sqrt{2}[/tex]([tex]\sqrt{3}[/tex] - 1)
[tex]S_{MND }[/tex]= [tex]\frac{2a^{2}(\sqrt{3} - 1)^{2}\sqrt{3}}{4}[/tex] от което след преработка се получава [tex]S_{MND }[/tex] = [tex]a^{2}[/tex][tex]\sqrt{3}[/tex](2 - [tex]\sqrt{3}[/tex])

[S.B.]

Oтговорите са еднакви?!!!Значи и моето решение е вярно!

[Hephaestus]

Ето още един примерен подход, който ми хрумна като прочетох за първи път задачата:
Нека квадратът е [tex]ABCD[/tex] и общият връх за квадрата и триъгълника е при [tex]A[/tex], а другите два върха на равностранния триъгълник са [tex]P[/tex] и [tex]T[/tex] като [tex]P \in BC, T \in CD[/tex]. Страната на равностранния да означим с [tex]x[/tex], и нека [tex]\angle BAP = \alpha[/tex]. Тогава [tex]\angle CAD = 90^\circ - (60^\circ + \alpha) = 30 - \alpha[/tex]
[tex]\triangle BAP(\angle ABP = 90^\circ) \Rightarrow cos\alpha = \frac{a}{x}[/tex]
[tex]\triangle CAD(\angle ADC = 90^\circ) \Rightarrow cos(30^\circ - \alpha) = \frac{a}{x}[/tex]
[tex]\Rightarrow cos\alpha = cos(30^\circ - \alpha) \Rightarrow \alpha = 15^\circ[/tex]
[tex]cos15^\circ = \frac{a}{x} \Rightarrow \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{a}{x} \Rightarrow x = (\sqrt{6} - \sqrt{2})a[/tex] ([tex]cos15^\circ[/tex] може да се намери като се представи във вида [tex]cos(45^\circ - 30^\circ)[/tex], ако не се помни), откъдето [tex]S_{\triangle APT } = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^{2}a^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{(8\sqrt{3}-12)a^{2}}{4} = (2\sqrt{3} - 3)a^{2}[/tex]

[Гост]

Последното р-е ми хареса най-много.Може ли така:[tex]\angle[/tex]ADH=15[tex]^\circ[/tex],защото
[tex]\angle[/tex]ADH+60[tex]^\circ[/tex]+[tex]\angle[/tex]CDI=90[tex]^\circ[/tex] (според хубавия чертеж).
[tex]\alpha[/tex]+60[tex]^\circ[/tex]+[tex]\alpha[/tex]=90[tex]^\circ[/tex]
Може ли по този начин ?

[pal702004]

Може, разбира се

$S=\frac{\sqrt 3}{4}x^2$

$x=\frac{a}{\cos(15)}$

$x^2=\frac{a^2}{\cos^2(15)}=\frac{2a^2}{1+\cos(30)}=\frac{4a^2}{2+\sqrt 3}=4(2-\sqrt 3)a^2$

$S=(2\sqrt 3-3)a^2$