Лице на четириъгълник

[Гост]

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност с диаметър AC. Ако ъгъл BAD= 60 градуса и четириъгълникът може да се опише около окръжност с радиус 1, то лицето на ABCD e ?

[Гост]

[tex]\frac{6+4\sqrt{3}}{3}[/tex] ли е отг.???

[Гост]

Задачата е от тест и нямам ключа с отговорите...

[Knowledge Greedy]

Да, така е - отговорът на Гост » Съб Мар 17, 2018 8:26 pm

[ева]

Скрит текст: покажи

Едно време уч-те не знаеха какви задачи ще им се паднат на контролното.Как ли щяхте да се справите,ако и сега беше така?

[tex]К_{1 }[/tex]([tex]О_{1 }[/tex];[tex]\frac{АС}{2}[/tex])-описана, [tex]К_{2 }[/tex]([tex]О_{2 }[/tex];1)-вписана
(вписан в [tex]К_{1 }[/tex]) [tex]\angle[/tex]ADC=[tex]\frac{дъгата АВС}{2}[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] (1) ; [tex]\angle[/tex]АВС=[tex]\frac{дъгатаADC}{2}[/tex]=90[tex]^\circ[/tex]
Нека [tex]К_{2 }[/tex] допира АВ,ВС,CD,AD съответно в т.[tex]Н_{1 }[/tex],т.[tex]Н_{2 }[/tex],т.[tex]Н_{3 }[/tex],т.[tex]Н_{4 }[/tex]
А[tex]О_{2 }[/tex] е ъглопол.[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ВА[tex]О_{2 }[/tex]=30[tex]^\circ[/tex] ; от правоъг.[tex]\triangle[/tex]А[tex]Н_{1 }[/tex][tex]О_{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]О_{2 }[/tex][tex]Н_{1 }[/tex]=[tex]\frac{АО_{2 }}{2}[/tex] т.е. 1=[tex]\frac{АО_{2 }}{2}[/tex] ; А[tex]О_{2 }[/tex]=2
тогава А[tex]Н_{1 }[/tex]=? [tex]АН_{1 }^{2}[/tex]+[tex]О_{2 }Н_{1 }^{2}[/tex]=[tex]АО_{2 }^{2}[/tex] ; А[tex]Н_{1 }[/tex]=[tex]\sqrt{4-1}[/tex]=[tex]\sqrt{3}[/tex], но А[tex]Н_{4 }[/tex]=А[tex]Н_{1 }[/tex] (допирателни от външна точка) [tex]\Rightarrow[/tex] А[tex]Н_{4 }[/tex]=[tex]\sqrt{3}[/tex]

[tex]\angle[/tex]BCD=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\angle[/tex]BAD=120[tex]^\circ[/tex] ;C[tex]O_{2 }[/tex]-ъглопол.[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex][tex]О_{2 }[/tex]С[tex]Н_{3 }[/tex]=60[tex]^\circ[/tex] (знаем [tex]\angle[/tex]С[tex]Н_{3 }[/tex] [tex]О_{2 }[/tex]=90[tex]^\circ[/tex])[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]С[tex]О_{2 }[/tex][tex]Н_{3 }[/tex]=30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] С[tex]Н_{3 }[/tex]=[tex]\frac{СО_{2 }}{2}[/tex] т.е. С[tex]О_{2 }[/tex]=2С[tex]Н_{3 }[/tex]
(Питагор) [tex]1^{2}[/tex]+[tex]СН_{3 }^{2}[/tex]=[tex](2СН_{3 })^{2}[/tex] ... С[tex]Н_{3 }[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex] ; тук С[tex]Н_{2 }[/tex]=С[tex]Н_{3 }[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex] (допирателни от външна т.)
Накрая разглеждаме четириъг.[tex]O_{2 }[/tex][tex]H_{3 }[/tex]D[tex]H_{4 }[/tex]-виж (1),[tex]\angle[/tex]D[tex]H_{4 }[/tex][tex]O_{2 }[/tex]=[tex]\angle[/tex][tex]O_{2 }[/tex][tex]H_{3 }[/tex]D=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex][tex]H_{4 }[/tex][tex]O_{2 }[/tex][tex]H_{3 }[/tex]=360[tex]^\circ[/tex]-3.90[tex]^\circ[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] т.е. това е правоъг.,на който две съседни страни са равни [tex]\Rightarrow[/tex] този правоъг.е квадрат. получихме D[tex]H_{4 }[/tex]=D[tex]H_{3 }[/tex]=1
По същия начин док.,че В[tex]Н_{1 }[/tex]=В[tex]Н_{2 }[/tex]=1
Забелязваме,че [tex]\triangle[/tex]АВС[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]ACD (1 пр.) (2) [tex]\Rightarrow[/tex] S(ABCD)=2S(ABC)=2.[tex]\frac{AB.BC}{2}[/tex]=([tex]\sqrt{3}[/tex]+1)([tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]+1)=[tex]\frac{6+4\sqrt{3}}{3}[/tex]

[Петър Евгениев]

Здравейте, ева може да използвате "\widehat{AB}" за [tex]\widehat{AB}[/tex] дъга, в бъдещи нужди за дъги.

[ева]

Така става. Благодаря на Петър Евгениев ! Досега дъгата ми излизаше ниско долу и се отчаях.
Човек се учи,докато е жив.