Триъгълник

[Гост]

В остроъгълен триъгълник ABC страната AC е диаметър на окръжност с радиус 3 cm. Тази окръжност пресича страните BC и AB съответно в точките M и N. Да се намери отношението на лицата на триъгълник BMN и четириъгълника ANMC, ако радиусът но описаната окръжност около ABC е 2[tex]\sqrt{19}[/tex]

[KOPMOPAH]

Триъгълник.png (11.98 KiB) Прегледано 227 пъти

Отбелязваме, както обикновено, $\measuredangle ABC =\beta$. Ъглите $\measuredangle AMC$ и $\measuredangle ANC$ са прави, защото $AC$ е диаметър. Ъглите $\measuredangle CAM$ и $\measuredangle CNM$, съответно $\measuredangle ACN$ и $\measuredangle AMN$, както и $\measuredangle NAM$ и $\measuredangle NCM$ са равни (ясно защо). Ъгъл $\measuredangle NMB$ като външен за $\triangle NMC$ е равен на $\measuredangle CNM+\measuredangle NCM=\measuredangle CAM+\measuredangle NAM$, следователно $\measuredangle NMB=\measuredangle BAC$. От всичко казано дотук следва, че триъгълниците $\triangle ABC$ и $\triangle NBM$ са подобни.
(не изключвам да има и по-кратко доказателство ).
Коефициентът на подобие е отношението на някои съответни страни, напр. $BN:BC$, което е $\cos \beta$ (заради "правоъгълността" на $\triangle BNC$). До момента нямаме ни $\sin \beta$, ни $\cos \beta$ , но от дадените страна $AC$ и радиус на описана около $\triangle ABC$ окръжност, по синусова теорема можем да намерим $\frac {AC}{ \sin \beta}=2R \Rightarrow \sin \beta=\frac {3}{4\sqrt {19}}=\frac {3\sqrt {19}}{76}$, а оттам - и $\cos \beta = \frac {\sqrt {5605}}{76}$.
Както е известно (и лесно доказуемо при необходимост) лицата на подобните фигури се отнасят както квадрата на коефициента на на подобие, т.е. $S_{ABC}:S_{BNM}=\frac 1{\cos^2 \beta} \Rightarrow S_{ABC} =S_{BNM} \frac 1{\cos^2 \beta}$. Като извадим от двете страни на равенството $S_{BNM}$ от лявата страна ще получим лицето на четириъгълника $ANMC$, а отдясно $S_{BNM} \left(\frac 1{\cos^2 \beta}-1\right)= S_{BNM}\left(\frac {\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta}\right)=S_{BNM}\left(\frac {\frac{9.19}{76^2}}{\frac{5605}{76^2}}\right)=\cdots=S_{BNM}\frac 9{295}$, т.е. тази дроб $\frac 9{295}$ дава търсеното отношение.

P.S. Изглежда крайно неугледно. Трудни са задачите с числа. Нашият учител в МГ, светла му памет, ни учеше да решаваме параметрично, а после да заместваме. Така и правехме и никога не допускахме грешки. Беше отдавна. Сега грешим.