Произведението на диагоналите

[Гост]

Да се докаже,че произведението на диагоналите на всеки вписан в окръжност четириъгълник е равно на сбора от произведенията на двойките срещулежащи страни на четириъгълника.

[Петър Евгениев]

Посочената от вас задача се споменава на места като теорема на Птолемей.
Нека четириъгълникът [tex]ABCD[/tex] е вписан в окръжност. Трябва да се докаже, че:[tex]AC.BD=AB.CD+BC.AD[/tex]
Взимаме точка [tex]M[/tex], лежаща на диагонала [tex]BD[/tex], таква ,че [tex]\angle MCD=\angle BCA[/tex].
Но лесно може да се съобрази [tex]\angle BAC=\angle BDC[/tex](вписани ъгли измерващи се с една и съща дъга) [tex]\Rightarrow \triangle DMC \sim \triangle ABC[/tex]
Освен това [tex]\angle MCB=\angle DCA[/tex] и [tex]\angle DAC=\angle DBC[/tex] от тук [tex]\triangle BMC \sim \triangle ADC[/tex]
Коефициентите на подобие от двете дойки подобни триъгълници.
[tex]\frac{DC}{AC}=\frac{DM}{AB} \Rightarrow AB.DC=AC.DM[/tex]
[tex]\frac{BC}{AC}=\frac{BM}{AD} \Rightarrow AD.BC=AC.BM[/tex]
[tex]\Rightarrow AB.DC+AD.BC=AC(BM+DM)=AC.BD \Rightarrow AC.BD=AB.CD+BC.AD[/tex]