Правоъгълен триъгълник

[Гост]

Дължината на катетите на правоъгълен триъгълник с радиус на вписаната окръжност 2 см и радиус на описаната 5 см са ?
Аз получавам 6 и 8. Това ли са ? Реших я чрез метричните зависимости

[monika_at]

Това са.

[Davids]

Това са.

Та, понеже ми е малко скучно, да напиша и обобщено решение
Радиуса на описаната окръжност около правоъгълен триъгълник е равно на половината от хипотенузата, откъдето ведната имаме $c = 2R = 10$.
Оттам вече става лесно с вариации от системи, най-готината от която според мен е комбинацията от формулата за радиус на вписаната окръжност и формулата за лице чрез двата радиуса. А именно:
[tex]\begin{array}{|l} r = \frac{a+b-c}{2} \\ S = pr = \frac{abc}{4R} \end{array}[/tex]
От първото уравнение получаваме $a + b = 14$, откъдето, замествайки в първия израз, получаваме $S = pr = \frac{a + b + c}{2}.2 = 14 + 10 = 24$, а оттам вече имаме $S = \frac{abc}{4R} \Rightarrow ab = \frac{4RS}{c} = \frac{4.5.24}{10} = 48$.
Системата ни придобива вида $\begin{array}{|l} a + b = 14 \\ ab = 48 \end{array}$ и решението вече е елементарно

[Гост]

А решението, използвайки метричните зависимости става ли ?

[Davids]

А решението, използвайки метричните зависимости става ли ?

Все пак, какви точно метрични зависимости имаш предвид? Така или иначе трябва да съобразим, че $c = 2R = 10$, а освен това $r$ не участва в друга метрична зависимост освен $r = \frac{a + b - c}{2} \Rightarrow a + b = 14$. Единственото, което можеш да разнообразиш, е чрез Питагорова теорема:
$c^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow a^2 + b^2 = 100$
Остава системата:
[tex]\begin{array}{|l} a + b = 14 \\ a^2 + b^2 = 100 \end{array}[/tex]
Която се решава също лесно. Но не виждам какво повече може да иска задачата от метричните зависимости?

[Гост]

Последен въпрос .... радиуса на вписаната не е ли всъщност половината от височината?

[Davids]

Последен въпрос .... радиуса на вписаната не е ли всъщност половината от височината?

В равнобедрен трапец - да Но в триъгълник той по начало лежи на пресечната точка на ъглополовящите.

[KOPMOPAH]

Та, понеже ми е малко скучно, да напиша и обобщено решение

И без да е малко скучно, по-"математически" е да се реши параметрично, после всеки може да замести с определени стойности. А и вероятността да се сбърка в изчисленията е много по-малка.