Равнобедрен трапец

[Гост]

Диагоналът на равнобедрен трапец, в който е вписана окръжност, е равен на 10. Да се намери радиусът на окръжността, ако ъгълът при основата на трапеца е 60 градуса.
Аз го получавам 5[tex]\sqrt{3}[/tex]

[Гост]

Нека диагоналът е [tex]d=10[/tex] и [tex]r[/tex] е радиусът на вписаната окръжност.
Тогава [tex]r=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}d[/tex].

[ева]

Нека CH е височина в [tex]\triangle[/tex]АВС
АВ=а=? CD=b=? r=[tex]\frac{GF}{2}[/tex]=?
[tex]\triangle[/tex]НВС е правоъг. с [tex]\angle[/tex]ВСН=30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ВН=[tex]\frac{ВС}{2}[/tex] ,но ВН=[tex]\frac{a-b}{2}[/tex] ,а BC=BE+EC=BG+CF=[tex]\frac{a}{2}[/tex]+[tex]\frac{b}{2}[/tex]=[tex]\frac{a+b}{2}[/tex] (заместваме)
[tex]\frac{a-b}{2}[/tex]=[tex]\frac{\frac{a+b}{2}}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] a=3b (1)
[tex]\triangle[/tex]ABC-cos T [tex]d^{2}[/tex]=[tex]a^{2}[/tex]+([tex]\frac{a+b}{2})^{2}[/tex]-2a.[tex]\frac{a+b}{2}[/tex]cos60[tex]^\circ[/tex] [ползваме (1) ]
100=9[tex]b^{2}[/tex]+4[tex]b^{2}[/tex]-3b.4b[tex]\frac{1}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] b=[tex]\sqrt{\frac{100}{7}}[/tex]=[tex]\frac{10}{\sqrt{7}}[/tex] (2)
([tex]\triangle[/tex]HBC-правоъг.) sin 60[tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{2r}{\frac{a+b}{2}}[/tex] т.е. [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]=[tex]\frac{4r}{4b}[/tex] ; [tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]=[tex]\frac{r}{\frac{10}{\sqrt{7}}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] r=[tex]\frac{10\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}[/tex]=[tex]\frac{5\sqrt{21}}{7}[/tex]
отг.[tex]\frac{5\sqrt{21}}{7}[/tex]